İnşaat Analizinin Güçlü Normalleşmesinin İspatını Anlamak

İnşaat hesabı için güçlü normalleşmenin kanıtını anlamakta zorlanıyorum. Herman Geuvers'in "İnşaatlar Hesabı için Güçlü Normalizasyonun kısa ve esnek bir kanıtı" belgesindeki kanıtı takip etmeye çalışıyorum.

Akıl yürütmenin ana çizgisini iyi takip edebilirim. Geuvers her tipi için tip değişkenlerinin bazı değerlendirmelerine dayanarak bir yorumlama . Ve sonra o terim değişkenlerinin bazı değerlendirmelerine dayanarak bir terim yorumu oluşturur ve geçerli değerlendirmeler için tüm geçerlidir. $T$ $[\![T]\!]_\xi$ $\xi(\alpha)$ $(\!|M|\!)_\rho$ $\rho(x)$ $(\!|M|\!)_\rho \in [\![T]\!]_\xi$ $\Gamma\vdash M:T$

Benim sorunum: Kolay türler için (sistem F türleri gibi) tür yorumlaması gerçekten bir terim kümesidir, bu nedenle iddia anlamlıdır. Ancak daha karmaşık türler için, yorumlama bir terim kümesi değil, bazı uygun işlev alanının işlevler kümesidir. Bence, neredeyse işlev alanlarının yapısını anlıyorum, ancak daha karmaşık olan için herhangi bir anlam atayamaz. türleri . $[\![T]\!]_\xi$ $(\!|M|\!)_\rho \in [\![T]\!]_\xi$ $[\![T]\!]_\xi$ $(\!|M|\!)_\rho \in [\![T]\!]_\xi$ $T$

Herhangi biri kanıtın daha anlaşılır sunumlarını açıklayabilir veya bunlara bağlantı verebilir mi?

Edit: Soruyu daha açık hale getirmeye çalışayım. bağlamında tip değişkenleri ve nesne değişkenleri için bildirimler bulunur . A tipi değerlemesi, geçerli olan tüm ise ile sonra için geçerlidir. Ancak , yalnızca değil , öğesinin bir öğesi olabilir . Bu nedenle, için geçerli bir terim değerlendirmesi tanımlanamaz . bir işlev alanı işlevi değil, bir terim olmalıdır. $\Gamma$ $\alpha:A$ $(\alpha:A) \in \Gamma$ $\Gamma\vdash A:\square$ $\xi(\alpha) \in \nu(A)$ $\nu(A)$ $(SAT)^*$ $SAT$ $\rho(\alpha)$ $\rho(\alpha)$

Edit 2: Çalışmayan örnek

Şu geçerli türevi yapalım:

\begin{array}{llll} [] & ⊢ & * : ◻ & axiom \\ [α : *] & ⊢ & α : * & variable introduction \\ [α : *] & ⊢ & * : ◻ & weaken \\ [] & ⊢ & (Π α : * . *) : ◻ & product formation \\ [β : Π α : * . *] & ⊢ & β : (Π α : * . *) & variable introduction \end{array}

$\begin{array}{llll} [] &\vdash & *:\square &\text{axiom} \\ [\alpha:*] &\vdash& \alpha:* &\text{variable introduction} \\ [\alpha:*] &\vdash& *:\square &\text{weaken} \\ [] &\vdash & (\Pi \alpha:*.*):\square &\text{product formation} \\ [\beta:\Pi \alpha:*.*] &\vdash& \beta:(\Pi \alpha:*.*) &\text{variable introduction} \end{array}$

Son bağlamda, geçerli bir tür değerlendirmesi . Bu tür değerlendirme için geçerli bir dönem değerlendirmesi yoktur. $\xi(\beta) \in \nu(\Pi \alpha:*.*) = \{f| f:\text{SAT} \to \text{SAT}\}$

— helmut
kaynak

Bunu okuyan insanların yarısı olduğunu düşünecektir . Ne olduğunu açıklamalısın. Ayrıca, türetmeniz biraz tuhaf görünüyor. Söz olmamalı ikinci satır şeklindeki vardığı, bu şöyle bir şey shoudl , değil ki?

S A T

$SAT$

α

$\alpha$

[α : *] ⊢ * : ◻

$[\alpha : *] \vdash * : \Box$

— Andrej Bauer

Herman Geuvers (bu alanda standart gibi görünüyor) gösterimini kullanıyorum. , tüm doymuş lambda ifadeleri kümesidir. Türevimin ikinci satırı için: Saf tip sistemin değişkenleri için giriş kuralı. Bu kural ; burada bir çeşittir.

SAT

$\text{SAT}$

\frac{Γ ⊢ T : s}{Γ, x : T ⊢ x : T}

$\frac{\Gamma \vdash T:s}{\Gamma,x:T\vdash x:T}$

s

$s$

— helmut

İkinci çizgiyi nasıl aldığınızı anlıyorum ama üçüncü çizginin oluşumu için doğru öneri değil, değil mi? Üçüncü kuralı hangi kural verir.

— Andrej Bauer

PTS'nin ürün oluşturma kuralı hesabı kuralına sahiptir.Bu , üçüncü ve ikinci satırı kullanarak üçüncüyü elde etmeme izin verir , ancak bir yazım hatası var. üçüncü satırda şimdi eklediğim eksikti

\frac{r (s_{1}, s_{2}, s_{3}; Γ ⊢ A : s_{1}; Γ, x : A ⊢ B : s_{2}}{Γ ⊢ (Π x : A . B) : s_{3}}

$\frac{r(s_1,s_2,s_3;\, \Gamma\vdash A:s_1;\: \Gamma,x:A\vdash B:s_2}{\Gamma\vdash (\Pi x:A.B): s_3}$

r (*, *, *)

$r(*,*,*)$

— helmut

O zaman ilk satırda mı? Yoksa ve yere mi karıştırdınız ? İkinci satır, ürün oluşturma kuralının ikinci öncülü olamaz, çünkü bu gibi bir şey oluşturmaya çalıştığınız anlamına gelir yerine .

[] ⊢ * : *

$[] \vdash * : *$

*

$*$

◻

$\Box$

\prod α : * . α

$\prod \alpha : * . \alpha$

\prod α : * . *

$\prod \alpha : * . *$

— Andrej Bauer

Ne yazık ki, Geuvers'ın hesabından daha acemi dostu kaynaklar olduğundan emin değilim. Bu notu, zorlu ayrıntılarda birkaç kanıtın bir hesabını veren Chris Casinghino'dan deneyebilirsiniz .

Karışıklıklarınızın özünü anladığımdan emin değilim, ancak not edilmesi gereken önemli bir şey, klasik Barendregt metninde kanıtlanmış aşağıdaki lemma (Corollary 5.2.14) :

Γ ⊢ M : T \Rightarrow Γ ⊢ T : * or ◻

$\Gamma \vdash M:T\ \Rightarrow\ \Gamma \vdash T:*\mbox{ or }\square$

Bu demek oluyor ki $[\![T]\!]_\xi$ olabilir bazıları işlev karmaşık hale eğer $\Gamma \vdash M:T$ tutar, sonra $[\![T]\!]_\xi$ bir dizi terim olmalıdır .

Bu, taslakta (bölüm 3.1) belirtilmiştir; $(\!|t|\!)_\sigma\in[\![T]\!]_\xi$ Yalnızca $\Gamma \vdash t:T :*$ beklentimizle örtüşen, yani bir türün yorumunun bir dizi terim olması, yani ${\cal V}(*)\subseteq{\cal P}(\mathrm{Term})$ (aslında, ${\cal V}(*)=\mathrm{SAT}$ !)

Tip teorisinde yaygın bir durum, sadece "temel tür" ile ilgilenmemize rağmen (burada $*$ ), daha yüksek türlerdeki şeyler için anlambilim tanımlamak zorundayız (dolayısıyla, $\mathrm{SAT}^*$ ). Sonunda işler işe yarar, çünkü sadece türlerin yaşadığı tür $*$ (ve $\square$ , ama bu gerçekten önemli değil).

— cody
kaynak

Açıklama için teşekkürler. Bu, Geuver'in kanıtında kullanılan işlevleri anlamama sorunumu çözdü. Geuver'in gazetesini okuyup tekrar okuduğumdan şüpheliydim, ama siz onu netleştirdiniz.

— helmut