Bir evren hiyerarşisi ile kalıtsal ikame

Basit Lambda Hesabı ve Mantıksal Çerçeve'nin kalıtsal ikamesi hakkında okudum farklı terim ve türlerle .

Merak ediyorum, bir evren hiyerarşisine sahip bağımlı tipte bir sistemde kalıtsal ikame örnekleri var mı? yani burada $True : Set_0 : Set_1:Set_2$ vs.

Özellikle böyle bir sistemde bir indüksiyon önleminin nasıl oluşturulacağını merak ediyorum. Basit yazılan versiyon, değiştirilen değişkenin tipinde yapısal olarak azalmaktadır. Bu, bağımlı tiplerle çalışmaz, çünkü LF için bağladığım kağıt, terimlerin basit tipli silinmesini kullanır ve türün şekli üzerinde indüksiyon yapar.

Bununla birlikte, basit türlere silmek, evren hiyerarşisiyle çalışmaz, çünkü böyle bir şeye sahipseniz:

$f : (x : Set_1)\to x \to True$ ifade eder:
$f\ ((y : True) \to True \to True ): True \to True \to True$

yani bir fonksiyonun uygulanması yapısal olarak daha büyük bir tip ile sonuçlanmıştır.

Çözümün evren indeksleri ile bir ilgisi olduğunu varsayıyorum, ancak indüksiyonun iyi kurulmuş olduğunu tespit etmek için mevcut bir teknik varsa, kendi başıma bir şey bulmak yerine bunu belirtmeyi tercih ederim.

— jmite
kaynak

Yanıtlar:

İşte öngörülü Sistem F için bir referans . Ölçü gerçekten de bir türdeki evren seviyelerinin çoklu kümesini içerir. Bu yaklaşımın kestirimci bağımlı tip teorisine genelleşip genelleşmediği hakkında pek bir şey söyleyemem.

— András Kovács
kaynak

Kasım 2018 itibariyle, büyük elemeleri olan bağımlı tip teoriler için bunun nasıl yapılacağı açık bir sorudur.

Özyinelemenin iyi kurulmuş olduğunu tespit etmek çok da kötü değildir; Pataraia teoremini kullanarak istediğiniz sabit noktanın var olduğunu kanıtlayabilirsiniz. Nasıl yapılacağını öğrenmek için Robert Harper'ın * İşletimsel Semantik Üzerine Tip Sistemleri İnşa Etme bölümüne bakınız . (Bunu indüktif-özyinelemeli bir tanımla da yapabilirsiniz.)

Zor kısım aslında kalıtsal ikameyi güzel bir şekilde formüle etmektir - doğal yön sizi bir terimi değil, bir bağlamın tamamını ikame etmeye yönlendirir ve bu, şeylerin özelliklerini ne zaman ve nasıl oluşturacağınız hakkında birçok soruyu gündeme getirir. (kalıtsal) sübstitüsyonlar gibi.

İmkansız olduğu ortaya çıkarsa, tamamen şok olurdum. Ancak, şu anda kimse bunu yapmadı. Bu konuda çalışmak isterseniz Andreas Abel, Dan Licata ve Mike Shulman ile iletişime geçmenizi öneririm. (Ya da ben, bu konuda.)

— Neel Krishnaswami
kaynak

Evren hiyerarşisine sahip bir tür teori için kalıtsal ikameler teoreminin tutarlılık gücü oldukça güçlü değil mi? Teoremi girdikten sonra, teorinin tutarlılığını elde etmek için başka ne gerekir?

— Andrej Bauer

@NeelKrishaswami: evren hiyerarşisi olmasa bile açık bir sorun mu demek istiyorsun? Yazım teorisiniz hakkında tam olarak ne kadar varsayıyorsunuz?

— Andrej Bauer

İkinci olarak @ AndrejBauer'in kafa karışıklığı: Kalıtsal ikame tanımı, iyi yazılmış terimlerin azaltılması için dolaylı olarak bir sonlandırma argümanı içermiyor mu? Basit türler argümanı, yerine koyma gerçekleştirildiğinde azalan, Sistem T (hatta SN için böyle bir siparişin olup olmadığı açıktır) ve sistem F için umutsuz olan bir emir bile içeriyor gibi görünüyor

— cody

@AndrejBauer: Kalıtsal bir ikame işlemi yazarsanız, gerçekten bir işlev olarak adlandırmadan önce sona erdiğini kanıtlamanız gerekir. Fesih kanıtının çok zor olması muhtemel değildir, çünkü sayılabilir evren hiyerarşisine sahip MLTT'nin sezgisel sınırlı ZF kullanılarak normalleştiği gösterilebilir. Açık olan aslında kalıtsal ikame operasyonunun doğru tanımını vermektir. Şu anda bunun zor bir bürokratik sorun mu yoksa zor bir sorun mu durmak olduğu belirsiz. Benim önsezim eski, ama işi yapmadan gerçekten kim söyleyebilir?

— Neel Krishnaswami

@Blaisorblade: evet, büyük elemeler eklemek teorinin ifade gücünde gerçekten büyük bir sıçramaya yol açar. Büyük elemeleriniz olduğunda, tutarlılığı / normalleşmeyi kanıtladığınız metatheory'nin en azından tümevarım-özyinelemeyi desteklemesi gerekir.

— Neel Krishnaswami