İkiz köşeleri grafiklerde bulma

Let bir grafiktir olabilir. Bir köşe için tanımlama, (açık) mahalle olarak de . Yani, N (x) = \ {y \ 'de V \, \ vert \, \ {x, y \} \, E \} . İki köşe tanımlama u, v içinde G olduğu ikiz ise u ve v , komşu aynı kümesini, bir, eğer , N (u) = N (v) .$G=(V,E)$$x\in V$$N(x)$$x$$G$$N(x)=\{y\in V \,\vert\, \{x,y\}\in E\}$$u,v$$G$$u$$v$$N(u)=N(v)$

Bir grafiktir verilen $G$ ile $n$ köşe ve $m$ girdi olarak kenarları, ne kadar hızlı biz ikiz bir çift bulabilirsiniz $G$ gibi bir çift varsa,?

Verilen iki köşenin komşularını karşılaştırarak zamanında ikiz olup olmadığını kontrol edebiliriz . Basit bir algoritma, ikizleri bulmaktır, bu nedenle, her iki köşe çifti için ikiz olup olmadıklarını kontrol etmektir. Bu, zaman alır (ve ayrıca tüm ikizleri bulur ). (Eğer varsa) grafikte bir çift ikiz bulmak için daha hızlı bir yol var mı? Literatürde bu sorunu ele alan bilinen çalışmalar var mı?$O(n)$$O(n^{3})$

Bir grafikteki ikizler sadece 2 boyutlu modüllerdir. Bir grafiğin modüler ayrışması, zamanında bulunabilir. Modüler ayrışma ağacı, grafiğin tüm modüllerini örtük olarak temsil eder ve üç tür iç düğümden oluşur: seri, paralel ve asal düğümler ve yapraklar, ayrı düğümlerden oluşur. En az iki köşe seti S ⊂ V , sadece ağaçta bir düğüm veya bir dizi veya paralel düğümden bazı çocuk kümelerinin birleşmesi durumunda ve eğer bir modül ise.$O(n+m)$$S \subset V$

Bu yüzden eğer bir çift ikiz düğüm bulmak için, eğer varsa, modüler ayrışma ağacını sürede oluşturabiliriz. O zaman yapraklara bakın, herhangi bir yaprağın ebeveyni bir seri veya paralel düğüm ise, o düğümün ikiz bir çift oluşturan en az iki çocuğu olması gerekir. Yani toplam çalışma süresi doğrusaldır.$O(n+m)$

http://en.wikipedia.org/wiki/Modular_decomposition

Sorun, grafik matrisinde iki eşit satır olduğunu belirlemeye eşdeğerdir. Grafik matris satırları üzerinde trie yapabiliriz. Zaman compleixty O (n ^ 2) olacak

EDIT: @MikleB ve @Travis tarafından sunulan çözümler çok zekice. Overkilling cevap için özür dilerim.

Sorunun , grafiğin bitişik matrisi A'daki matris çarpma problemine indirgenmesi , çarpımın EQU (NXOR) ile değiştirilmesi ve VE ile eklenmesiyle azaltılabileceği görülmektedir. Eğer grafikte bir çift ikiz varsa, sonuçta A A T matrisi özdeşlik matrisi olmayacak ve a i , j değerinin sıfır olmadığı endeksler ( i , j ) tam olarak ikiz çift düğümler olmayacaktır. .$A$$AA^T$$(i,j)$$a_{i,j}$

En iyi bilgi için matris çarpım sorunu çözülebilir ile zaman a ≈ 2.376 ile Coppersmith-Winograd algoritması . Pratik çözümler gerekirse, herhangi bir matris çarpma algoritması pratikte iyi çalışıyor güzel.$O(n^\alpha)$$\alpha \approx 2.376$

Bu sitedeki çılgın sistem yüzünden doğrudan yorum yapamıyorum, ancak mevcut cevaplarla ilgili birkaç gözlemim var.

Hsien-Chih Chang'in çözümünün den A A T ye düzeltilmesi gerektiğine eminim .$A^2$$AA^T$

MachineCharmer'ın gözlemi 4 öne çıkar (karşı örnek: [0,0,1], [0,1,0], [0,1,1] belirleyici 0'a sahip fakat ikiz yok). İkizler varsa, determinant sıfırdır.

This thread is quite old; however, nobody seems to have hit on the most elegant and simple approach. Lexicographically sort the adjacency-list in O(n+m) time then check for duplicates (see Aho, Hopcroft, Ullman, 74'). You can use modular decomposition, but this is total overkill.

This thread is old and OP's question has been answered but I'd like to add another algorithm to find all such pairs in linear time. Nobody mentioned Partition Refinement!

This algorithm finds the equivalence classes of false twins. The algorithm relies on an efficient procedure that refines a partition. Given a set S and a partition P = {X1, ..., Xn}. refine(P, S) = {X1 ^ S, X1 - S, X2 ^ S, X2 - S, ..., Xn ^ S, Xn - S}. ^ denotes set intersection and - set difference. A partition is stable if it cannot be further refined. This procedure takes time O(|S|) (see Wikipedia's article on partition refinement), so it's fast.

Algorithm:

P = {V} // initial partition consists of the vertex set
for every vertex v:
    P = refine(P, N(v)) // refine with the open neighborhood of v

Total time is O(|V|+|E|). This is simple to program as well.

Some observations that might help

1. For $a,b \in V$ if $a$ is not twin of $b$ then $c$ and $d$ can't be twins where $c \in N(a)$ and $d \in N(b)$.

2. $|N(a)| \neq |N(b)|$ then $a$ and $b$ can't be twins.

3. If $b \in N(a)$ then $a$ and $b$ can't be twins. This works only if you are looking for non-adjacent twins.

4. If twins exist then determinant of the adjacency matrix is zero.

Fancy idea:

1. Build a complete binary tree with height = |V|.
2. Then start reading one row of adjacency matrix.
3. If you encounter 0 take left otherwise take right.
4. When you reach a leaf store your vertex there.
5. Do this for all the rows. So, in the end each leaf will have neighbors.

Stolen from Inspired by Huffman compression algorithm! :)