P ve Betimsel Karmaşıklık

Karmaşıklık Hayvanat Bahçesi'nde, [ 1 ], tanımlayıcı karmaşıklıkta $P$ aynı zamanda olan $FO(LFP)$ şeklinde üç farklı formülle tanımlanabileceğini söylüyor . . $FO(n^{O(1)})$ $SO(HORN)$

Bununla birlikte, bazı istisnalar vardır, örneğin $Evenness$ FP tarafından ifade edilemez (FP LFP ile aynı ifade gücüne sahiptir). $Connectivity$ ve $2-colourability$ birinci dereceden mantık ile tanımlanamaz. Bazı problemler gibi sınırlı sayıda değişkenle aksiyomatize edilemez. $Evenness$ , $Perfect~Matching$ , $Hamiltonicity$ .

Immerman, Sabit Nokta Mantık + Sayım'ın (FPC) P'yi yakalamak için olası bir mantık olabileceğini önerdi.

Bununla birlikte, Cai Furer, Immerman, FPC'de ifade edilemeyen polinom-zaman grafik özellikleri olduğunu göstermiştir [ 2 ]. İki element alanı üzerinde lineer denklemlerin çözülmesi problemi sayım ile sonsuz mantıkta tanımlanamaz [ 3 ]. Daha fazla bilgi için [ 4 ] 'e başvurabilirsiniz .

Peki genel olarak hangi mantık yapısı P'yi yakalayabilir? Olumlu cevap, sıralı sonlu yapıların bir sınıfının, ancak Immerman [ 5 ] ve Vardi [ 6 ] tarafından P'de karar verilebilmesi durumunda, en az sabit nokta mantığında tanımlanabilir olmasıdır . Sırasız davaya ne dersiniz? Karmaşık hayvanat bahçesinde ifadenin daha fazla örneğini gösterebilir misiniz?

lo.logic polynomial-time descriptive-complexity

— Rupei Xu
kaynak

İşte bu özel soruya ilişkin sonuçlara genel bir bakış sunan bir eğitici: cl.cam.ac.uk/~ad260/talks/wollic-tutorial.pdf

— Denis

@Denis Teşekkür ederim, Denis! Bu eğitimde P için daha fazla mantık yapısı bulunmaktadır. Geleneksel olarak, bir problem hakkında konuştuğumuzda polinom zamanının çözülebilir olduğu, bunun "kolay" olduğunu düşünüyoruz. Bununla birlikte, P'nin mantık yapıları çok karmaşık görünmektedir ve hala birçok bilinmeyen vaka ve açık problem vardır.

— Rupei Xu

Evet, öyle görünüyor ki "kolay" problemler kümesi (yani P) çok iyi yapılandırılmamış ve "kolay problemler A, B temel problemlerinden elde edilebilecek problemler" gibi karakterize etmek zor. C, X, Y "şeklinde birleştirildi. Her zaman başka türden daha kolay problemler vardır ve içlerinde yeni fikirlerle akıllı polinom algoritmaları gerektirir.

— Denis

Martin Grohe son zamanlarda bu soruda önemli ilerlemeler kaydetti. Sabit bir yüzeye gömülebilen grafik sınıflarında polinom zamanını yakalayan bir mantık verir: https://dl.acm.org/citation.cfm?doid=2371656.2371662 Düzenleme: genel durum çözülmemiş gibi görünüyor (ama kesinlikle çözülmüyor) bu konuda bir uzman).

— Hermann Gruber
kaynak

Evet. Çok sayıda algoritmik meta-teorem sonucu (ünlü Courcelle teoremi gibi) kolay vakaları yakalayabilir, aşağıdaki bağlantı iyi bir anket kağıdıdır. people.cs.umass.edu/~immerman/pub/… Ancak, bu sonuçlarda, ağaç, sınırlı trewidth, düzlemsel grafikler, küçük-kapalı grafikler vb. hiçbir tam mantık yapısı genel grafiklerde şimdiye kadar sipariş vermeden P'yi yakalayamaz.

— Rupei Xu

Sanırım Grohe'nin çalışması oldukça özel, çünkü bu durumda mantık tüm P'yi oldukça büyük bir grafik sınıfında tüketiyor, yani karşı örnek yok. Eğer doğru yaparsam, kapsamlı olmak zor kısmıdır. Bahsettiğiniz MSO sonuçları bu özelliğe sahip görünmüyor. Ama bu konudaki uzmanlığım çok sınırlı, burada yanlış olabilirim.

— Hermann Gruber