Grup izomorfizmi sorununun en zor örneği nedir?

İki grup, ve bir homomorfizma vardır izomorfik IFF olduğu söylenir için örten bir. Grup izomorfizması sorunu şöyledir: iki grup verildiğinde, bunların izomorfik olup olmadıklarını kontrol edin. Bir grup girmenin farklı yolları vardır, en çok kullanılan ikisi bir Cayley tablosu ve bir jeneratör grubudur. Burada girdi gruplarının Cayley tabloları tarafından verildiğini varsayıyorum. Daha resmi:$(G,\cdot)$$(H, \times)$$G$$H$

$\textbf{Group Isomorphism Problem}$

$\textbf{Input : }$ İki grup ve .$(G,\cdot)$$(H,\times)$

$\textbf{Decide : }$ Is ?$G \cong H$

Diyelim ki$n = |G| = |H|$

Cayley tablosu tarafından girdi grupları verildiğinde Grup İzomorfizmi probleminin genel olarak içinde olduğu bilinmemektedir . Problemin polinom zamanında olduğu bilinen abelian grup sınıfı gibi grup sınıfları olmasına rağmen, bir abelian grubunun uzantısı olan gruplar, basit gruplar vb. bilinen.$\textbf{P}$

Grup izomorfizmi için kaba kuvvet algoritması Tarjan tarafından aşağıdaki gibi verilir. Let ve iki giriş gruplarıdır ve izin grubunun bir jeneratör olarak . Her sonlu grubun, üreten bir boyutu setini kabul ettiği ve polinom zamanda bulunabileceği iyi bilinen bir gerçektir . Jeneratörün görüntü sayısı arasından homomorfizmasının içinde için olduğu birçok. Şimdi, her olası homomorfizmanın iki yönlü olup olmadığını kontrol edin. Genel çalışma zamanı .$G$$H$$S$$G$$\mathcal{O}(\log n)$$S$$G$$H$$n^{\log n}$$n^{\log n + \mathcal{O}(1)}$

Önce grubunun merkezini tanımlayayım :$G$

$Z(G)$ grubunun elemanları belirtmektedir olduğu grubun tüm diğer elemanları ile yolculukları . Olan gruplar (/ bölüm için kullanılır) değişmeli bir nilpotentlik sınıfı iki grup olarak bilinir. Bana göre, nilpotent sınıf iki grubun grup izomorfizmi problemini çözmek için en zor örnekler olduğu anlaşılıyor. "En zor örnekler" in anlamı şudur: bu vakanın çözülmesi, grup teorisinde çalışan araştırmacıların çok sayıda grubun izomorfizm problemini çözmesine olanak sağlayacaktır.$G$$G$$G/Z(G)$

Başlangıçta, basit grupların tüm grupların yapı taşları oldukları için en zor örnekler olduğunu düşündüm, ancak daha sonra basit gruplar için izomorfizm sorununun içinde olduğunu .$\textbf{P}$

Soru : Grup izomorfizmi sorununun en zor örneği nedir?

$p$ sınıf 2 ve üs ait -gruplarından yaygın Grup İzomorfizma (en zor durum olduğuna inanılan ). ( , üs 4'ü dikkate almalıyız, çünkü üs 2'nin tüm grupları abelian - okuyucu için kolay egzersizdir.) Genel GpIso'dan bu grup sınıfına henüz bir azalma olmamasına rağmen (yine de aşağıdaki 0.5 noktasına bakın) ), bu inancın birkaç nedeni vardır. Bazılarını burada açıklayayım.$p$$p > 2$$p=2$

0) Pratik deneyim (GAP ve MAGMA'da uygulanan algoritmaları veren Newman, Eick, O'Brien, Holt, Cannon, Wilson, ... makalelerine bakınız).

0.5) [EDIT: 8/7/19] eklendi. Bu tür grupları üzerinden matris kümeleri üretilerek verildiğinde , problem [ G.-Qiao '19 ]. Ayrıca (bakınız noktası (4) aşağıda), bir izomorfizm üs -grupları ve sınıf ve izomorfizm poli süresini azaltan üs -grupları ve sınıf 2 (ibid.).$p$$\mathbb{F}_p$$\mathsf{TI}$$p$$p$$c < p$$p$$p$

1) Yapı (çözülebilir, sonra -grubuna indirgeme ). Her sonlu grup, çözünebilir radikal adı verilen ve adlandırılan benzersiz bir maksimum çözülebilir normal alt grup içerir . abelyan normal alt grup içermez ve bu grupların izomorfizmi pratikte ( Cannon-Holt J. Symb. Comput. 2003 ) ve teoride ( Babai-Codenotti-Qiao ICALP 2012 ) etkili bir şekilde ele alınabilir . nin abelyan olduğu gruplar için bile , bunlardan bazıları zamanında ( G-Qiao CCC '14, SICOMP '17 ) ele alınabilir , bu yüzden oldukça polinom değil, ancak dan çok daha yakın$p$$Rad(G)$$G/Rad(G)$$Rad(G)$$n^{O(\log \log n)}$$n^{\log n}$. Dolayısıyla ana engel çözülebilir (normal alt) gruplar gibi görünmektedir. Şimdi, çözülebilir gruplar içinde, her çözülebilir grubun Sylow alt gruplarının örgü ürünü olmasıyla başlayarak birçok yapı vardır ve en zor vakalar gruplarıdır.$p$$p$

2) Sayma. Düzen gruplarının sayısı olan , herhangi bir ana büyük üssüdür bölme ( Pyber 1993 ). sırası grubu sayısı en az ( Higman 1960 ). Böylece üslerdeki lider terimlerin katsayısının eşleştiğini görüyorsunuz. Bu anlamda "en" gruplardır (hatta sınıf 2 ve üstel bir-grubu, ). Önceki zayıf anlamda "çoğunun" düzen gruplarının oranının güçlendirilmesi için güçlendirilebileceğini söyleyen uzun zamandır devam eden bir varsayım var.$n$$\leq n^{(\frac{2}{27} + o(1))\mu(n)^2}$$\mu(n)$$n$pn=pmp(2$p$$n=p^m$$p^{(\frac{2}{27} + o(1))m^2}$pp≤npn→∞$p$$p$$\leq n$ -grubu olan , olarak 1'e eğilimlidir .$p$$n \to \infty$

3) Evrensellik (/ vahşilik). Bir sınıflandırma verilmesi -grubu, karakteristik herhangi bir sonlu grup (ya da artinian cebri) her modüler temsilleri bir sınıflandırma ima ( 1977 Sergeichuk ).$p$$p$

4) Esneklik. Neden daha yüksek sınıf değil sınıf 2 grupları? (Bu Not , "küçük coclass" sözde neredeyse-maksimal sınıfın -gruplarından esasen sınıflandırılmıştır, Eick & Leedham-Yeşil 2006 , bazı yanıtlar ayrıca bkz burada .) Herhangi To$p$$p$p p p c < p$p$Bir grup, Lie halkasındaki braketin gruptaki komütatöre karşılık geldiği dereceli bir Lie halkasını ilişkilendirebilir. Gruptaki birleşme, braket için Jacobi kimliğini ima eder, böylece gerçek bir Lie halkasına yol açar. Bununla birlikte, grup sınıf 2 olduğunda, Jacobi kimliğinin önemsiz bir şekilde karşılandığını (tüm terimleri otomatik olarak 0'dır), bu nedenle bu yapı üzerinde herhangi bir ek kısıtlama getirmez. Temel olarak, keyfi bir çarpık simetrik çift doğrusal haritaya karşılık gelir. İçin üs ait -Gruplar , bir azalma daha da vardır sınıftan sınıfı 2.$p$$p$$c < p$