Sıkı Pozitifliğin Ardındaki Sezgi?

Birisinin bana neden endüktif veri türlerinin sıkı pozitifliğinin güçlü normalleşmeyi garanti ettiğini arkasındaki sezgiyi verip veremeyeceğini merak ediyorum.

Açık olmak gerekirse, olumsuz oluşumların nasıl ıraksamaya yol açtığını görüyorum, yani:

data X where Intro : (X->X) -> X

ıraksak bir fonksiyon yazabiliriz.

Ama bunu nasıl kesin pozitif endüktif tipleri kanıtlayabilirim merak ediyorum yok sapma izin? yani güçlü bir normalleşme kanıtı (mantıksal ilişkiler veya benzeri kullanarak) oluşturmamızı sağlayan bazı indüksiyon önlemleri var mı? Peki böyle bir kanıt olumsuz olaylar için nerede yıkılıyor? Tümevarım türlerine sahip bir dil için güçlü normalleştirme gösteren iyi referanslar var mı?

— jmite
kaynak

Bence fikir kesinlikle pozitif tiplerin kavramsal olarak W tipine dönüşebiliyor. Ayrıca katı olmayan pozitif tip Coq vilhelms.github.io/posts/… ile tutarsızdır . Pozitif tipin Agda ile tutarlı olduğu yorumlandı, ancak kavramsal bir açıklama da görmek istiyorum ...

— molikto

@molikto Teşekkürler, bu yardımcı olur. Ancak W-tiplerinin, kapsamlı bir teoride istenen indüksiyon ilkelerini vermediğini düşündüm. Yoğun bir teoride kesin olarak pozitif tümevarımlar için güçlü normalleşmeyi nasıl kanıtlayabiliriz?

— jmite

Yanıtlar:

Pozitif veri tiplerine sahip tip sistemleri için normalleştirme argümanlarına genel bir bakış istersiniz. Nax Mendler'in doktora tezini tavsiye ederim: http://www.nuprl.org/documents/Mendler/InductiveDefinition.html .

Tarihin de belirttiği gibi, bu oldukça klasik bir çalışma. Temel sezgi, bir ordinal $\lambda$ pozitif bir endüktif tipteki herhangi bir elemanla, örneğin veri tipi için ilişkilendirilebilmesidir.

Inductive Ord = Zero : Ord | Suc : Ord -> Ord | Lim : (Nat -> Ord) -> Ord

Biz alacağız:

λ (t) = 0

$\lambda(t) = 0$ ise

t

$t$ , bir yapıcı değildir normal formu

λ (Z e r o) = 0

$\lambda(\mathrm{Zero}) = 0$

λ (S u c (o)) = λ (o) + 1

$\lambda(\mathrm{Suc}(o)) = \lambda(o)+1$ ve

λ (L ben m (f)) = \underset{n}{yudum} λ (f n)

$\lambda(\mathrm{Lim}(f)) = \sup_n \lambda(f\ n)$

$n$ $f\ n$ tanımlarında bazı dikkat gerektirir sıra normal formu vardır.

Daha sonra bu sıradan indüksiyonla özyinelemeli fonksiyonlar tanımlanabilir.

Bu veri türlerinin, Dybjer'in mükemmel Endüktif Aileler belgesinde ( http://www.cse.chalmers.se/~peterd/papers/Inductive_Families.pdf ) belirtildiği gibi zaten klasik küme teorisinde tanımlanabileceğini unutmayın . Ancak, işlev uzayları çok büyük olduğundan, türler yorumlamak Ordiçin gerçekten büyük ordinaller gerektirir .

— cody
kaynak

Teşekkürler, bu çok yardımcı! Bu ordinallerin tip teorisinin kendisinde tanımlanıp tanımlanamayacağını biliyor musunuz? yani, Agda'yı tümevarımlı bir tür teoriyi modellemek için tümevarım-özyineleme ile kullanmaya çalışıyordum (ancak tümevarım-özyineleme yok), Ordiyi bir temel göstermek için gereken sıraları modellemek gibi bir şey kullanabilir miyim?

— jmite

@jmite, yapabilirsiniz, ancak yapıcı teorilerdeki sıralamalar biraz gariptir ve iyi kurulmuş siparişler veya ağaçlarla da çalışabilirsiniz ( molikto'nun önerdiği gibi la W tipi). Yine de , nesne dilinde her bir endüktifin sağlamlığını yakalayan tek bir üniforma tipine sahip olmak zor olabilir ...

— cody

@cody Kesinlikle olumlu bir tür verdiğiniz Ord örneği değil mi?

— Henning Basold

@HenningBasold evet öyle (bu yüzden örnek olarak kullandım!). Ancak, (klasik) bir küme teorisinde tam olarak ordinaller gibi davranmaz ve kesinlikle tüm ordinaller kümesi gibi davranmaz . Özellikle, bunlar üzerinde bir emir tanımlamak biraz zor.

— cody

@HenningBasold Ayrıca, jmite'ın sorusunun özellikle olumlu türlerle ilgili olduğunu da belirtmeliyim, ancak daha genel ayara ilişkin bilgiler de ilginç!

— cody

Kesinlikle olumlu türlerin ötesine geçmek için bir başka iyi kaynak, Ralph Matthes'in doktora tezidir: http://d-nb.info/956895891

Sistem F'nin uzantılarını bölüm 3'teki (kesinlikle) pozitif türlerle tartışıyor ve bölüm 9'da birçok güçlü normalleştirme sonucu kanıtlıyor. Bölüm 3'te tartışılan birkaç ilginç fikir var.

$\rho$ $\alpha$ $\forall \alpha \forall \beta.\, (\alpha \to \beta) \to \rho \to \rho[\beta/\alpha]$
Kesinlikle pozitiften pozitif tiplere geçtiğimizde, endüktif tipler artık ağaç olarak görülemez (W-tipi kodlama). Bunun yerine, bunlar bir tür imkansızlık getirir, çünkü pozitif bir endüktif tipin inşası zaten tipin kendisi üzerinde niceldir. Bu türlerin anlambilimi hala monoton işlevlerin sıralı yinelemesi ile açıklanabileceğinden, bunun biraz hafif bir imkansızlık biçimi olduğuna dikkat edin.
Matthes ayrıca bazı pozitif endüktif tip örnekleri de sunar. Özellikle ilginç olanlar
- $\mu.\, 1 + ((\alpha \to \rho) \to \rho)$ $\alpha$ $\rho$
- türü $\mu \alpha \forall \beta.\, (\alpha \to \beta) \to \rho[\beta/\alpha]$ $\rho$

$\lambda\mu$

Umarım bu sorunuza yardımcı olur.

— Henning Basold
kaynak