“En Az Ayrımcı Bit” problemi NP tamamlandı mı?

Bu sorun için oluşturduğum bir isim. Ben daha önce hiçbir yerde tarif görmedim. Bu problem için henüz NP tamlığına dair bir kanıt ya da polinom zaman algoritması bulamadım. Bu bir ev ödevi sorunu değildir - işimde karşılaştığım bir sorunla ilgilidir.

EN AZ AYRIMCILIK BİTLERİ

INSTANCE: Her bit vektörünün tam olarak N bit uzunluğunda olduğu bit vektörleri içeren bir küme T. T'nin her unsuru, matematikteki bir kümeden beklendiği gibi benzersizdir. K <N. tamsayısı

SORU: B'deki her vektörden B dışındaki tüm bitleri kaldırdığımızda, kalan daha kısa vektörlerin tümü olacak şekilde en fazla K bit pozisyonundan (B [0, N-1] aralığında tamsayılar) bir B kümesi var mı? hala benzersiz mi?

Örnek 1: N = 5, T = {00010, 11010, 01101, 00011}, K = 2 örneği için cevap evettir, çünkü B = {0,3} bit konumlarını seçebiliriz. Bit konumu 0'ın en sağ olduğu ve bit konumu sayılarının sağdan sola arttığı kuralını kullanarak, B'deki vektörler dışındaki tüm bit konumlarını T 'deki vektörlerden T' = {00, 10, 11, 01} bırakır, ve bunların hepsi eşsiz.

Örnek 2: N = 5, T = {00000, 00001, 00010, 00100}, K = 2. Cevap hayırdır, çünkü hangi iki bit konumunu seçersek seçelim, 2 bit vektörlerin hiçbiri 11'e eşit olmayacaktır, bu nedenle 2 bit vektörlerin en az ikisi birbirine eşit olacaktır.

Elbette bu problemi N bit pozisyonlarının K boyutu ile tüm (N select K) alt kümelerini numaralandırarak ve sorunun koşulunu karşılayanı belirleyerek çözebiliriz. Ancak, bu giriş boyutunda üsteldir.

Bu sorun NP-tamdır. 3-SAT'dan indirime dayalı bir kanıt aşağıdaki gibidir:

değişkenli ve yan tümcesine sahip 3-SAT örneğini ele alalım . Bu inşa edecek uzunlukta bit vektörler ( "satır") , örneğin ayırt bit küçük sayı olduğu orijinal 3-SAT örneği iFF karşılanabilir olduğu.$n$$m$$2n + 2m$$2n + \lceil \log_2(n + m) \rceil$$n + \lceil \log_2(n + m) \rceil$

İlk biti değişmezlerine karşılık gelir . Bu bitlerle ilgili olarak, ilk sıraları çiftler halinde gelecek, ilki karşılık gelen maddeye dahil edilen her bir değişmez bilgi için sahip olacak ve ikincisi tamamen ' lardan oluşacaktır . Kalan sıraları da çiftler halinde gelir, bunlardan ilki karşılık gelen değişmez değer ve negatifliği için 'e sahip olur ve ikincisi tamamen ' sdan oluşur . Son olarak, son$2n$$\left\{ x_1, \neg x_1, x_2, \neg x_2, ..., x_n, \neg x_n \right\}$$2m$$1$$0$$2n$$1$$0$$\lceil \log_2(n + m) \rceil$bitler, her satır çiftini ile arasında, ikili olarak yazılan dizini ile "imzalamak" için kullanılır .$0$$n+m-1$

Her "değişmez" satırı ardılından ayırmak için, ya değişmez değere karşılık gelen bit ya da negatif değerine karşılık gelen bit korunmalıdır. Ayrıca, "sıfır + dizin" satırları arasında ayrım yapmak için tüm dizin bitleri korunmalıdır. Mümkün olan en az sayıda ayırt edici bit sayısı . Son olarak, her bir "madde" sırasını halefinden ayırt etmek için, bu maddede yer alan değişmez değerlere karşılık gelen üç bitten en az biri saklanmalıdır. 3-SAT örneği tatmin edilebilir durumdaysa, bu son koşul herhangi bir ek bit gerektirmez (özellikle,⌈ log 2 ( n + m ) ⌉ n + ⌈ log 2 ( n + m ) ⌉ x i ¬ x i i , n + ⌈ log 2 ( n + m ) ⌉ 2 , n + 2 m x i ¬ x i ben $n+m$$\lceil \log_2(n + m) \rceil$$n + \lceil \log_2(n + m) \rceil$$x_i$$\neg x_i$Herhangi bir için ); ve tersine, tüm bit vektörleri arasında ayrım yapan bitleri varsa , her bir için tam olarak ve birini içermelidir ve dolayısıyla bir değişkenlerine doğruluk değerlerinin atanmasını sağlamak .$i$$n + \lceil \log_2(n + m) \rceil$$2n+2m$$x_i$$\neg x_i$$i$$n$

Her ne kadar NP tamlığının bir kanıtı sağlanmış olsa da, bu sorunun, minimum test koleksiyonu olarak da adlandırılan Garey ve Johnson'daki minimum test seti sorunu ([SP6]) olarak bilinen bilinen bir NP-tamamlama sorununa eşdeğer olduğunu belirtmek gerekebilir. sorun ): sadece setlerin rolünü ve pozisyonların rolünü değiştirin.