PCP teorem kanıtı ile ilgili teknik sorun

Buradan kanıtı okuyorum ve teknik (henüz önemli) bir sorunla karşılaştım. Bunun oldukça spesifik olduğunu ve bağlamın sorunlu olduğunu biliyorum, ama kendim anlayamadım.

51 ve 55. sayfalarda, "standart" doğrulayıcıları sunduktan sonra, bölünmüş atamaları kontrol etmek için doğrulayıcıları değiştirmeye yönelirler.

İlk durumda (s. 51), bu kontrol o $f_1,\dots,f_k$ olan $0.01$ polinom kod -yakın, ve daha sonra bir Sum polinomların bir aileye (oluşturmak için algebraization (+ sıfır-test) kullanımı her biri, her biri 3 değerleri verilen bir noktada değerlendirilebilir bu giriş formüle ilişkin -Check özelliği) $\widetilde{f}_1,\dots,\widetilde{f}_k$ (polinom kod dolaptan kod sözcükleri $f_1,\dots,f_k$ ).

İkinci durumda (s. 55), bu kontrol $f_1,\dots,f_k$ olan $0.01$ olan lineer -yakın ve sonra da bir fonksiyon tanımlama $f$ özel bir toplamı olarak $\widetilde{f}_1,\dots,\widetilde{f}_k$ , örneğin bu $f$ her birinin değerlerinin belirli bir noktada değerlendirilebilir $\widetilde{f}_1,\dots,\widetilde{f}_k$ (lineer fonksiyonlar için dolaptan $f_1,\dots,f_k$ ).

Daha sonra her iki durumda da / $\widetilde{f}$ ailesindeki rastgele bir polinom değerleri üzerinde testler yaparlar (Sum-Check veya Tensor + Hadamard) .

Benim sorunum her $\widetilde{f}_i$ için gerekli değerlerin yeniden yapılanma prosedürü bazı ihmal edilemez sabit olasılık ile yanlış değerler sağlayabilir . Ayrıca, tüm değerleri doğru olarak elde edildiği bir olasılık sadece çok düşüktür $c^k$ bazı sabit için $c$ . Ve bu her iki durum için de geçerlidir.

Doğrulayıcıların bazı adımlarının aile işlevinden bir polinom hedef $f$ / polinom değeri elde etmesini gerektirdiği için bu kötü olabilir

Bu nedenle, her r için tekrar tekrar "rekonstrüksiyon cebirsel prosedürü" birkaç $O(\log k)$ kez kullanarak başarı olasılığını yükseltmeliyiz . $\widetilde{f}_i$

Şimdi, blow-up (nispeten özgün doğrulayıcı sorgu karmaşıklığına) alt rutin sorgu karmaşıklığı içinde biraz daha büyük olduğunu bu araç $k$ , öyle yani $O(k\log k)$ "(aksine hiç garantili "-" istenen " $O(k)$ patlama teoremleri açıklamasında).

Bu bir sorun mu yoksa bir şey eksik mi (muhtemelen ben)?

cc.complexity-theory pcp

— Don Fanucci
kaynak

Bunun açık olması gerekiyorsa özür dilerim, ancak teoremlerin

patlaması istediğinin ifadesi nerede ? Bir el yazısı okumasına dayanarak,

sabit sabit bir tamsayı gibi görünüyor (değil mi?).

O (k)

$O(k)$

k

$k$

— Clement

@ClementC. Daha sonra bileşim özyineleme lemması (ve en önemlisi kanıtı) ile birlikte 3.2 ve 3.3 numaralı tanımlara bakın. Normal form doğrulayıcının bölünmüş ödevleri kontrol etme yeteneğinin kullanıldığı tek yerin, kompozisyon lemmasının kanıtı olduğuna dikkat edin (aslında, başka herhangi bir yerde, doğrulayıcılar oluştururken uğraşmak "büyük bir sorumluluktur"). Kanıt içinde var

olan değil sabit hiç.

k

$k$

— Don Fanucci

Adil,

. Bununla birlikte, Corollary 3.3 ve Teorem 3.5'te PCP teoremini kanıtlamak için kullanım için,

, bu nedenle (bu ekstra

gerçekten burada olması gerekip gerekmediğine bakılmaksızın ) bu gerçekten sabittir.

p = Q (n)

$p=Q(n)$

Q (n) = 1

$Q(n)=1$

\log k

$\log k$

— Clement

@ClementC. Teşekkürler, kompozisyon kullandığımızda sabit

kullandığımız konusunda haklısınız .

p

$p$

— Don Fanucci

Bu makalede kullanılan sorgu karmaşıklığı $O(1)$ ve $O(poly(logn))$ .

Lemma 3.1 için kullanılan sorgu karmaşıklığının $O(1)$ olduğuna dair bir not vardır .

Soru Lemma 3.1'in sabit olmayan sorgu karmaşıklığına nasıl genelleştiği ise, bu $O(poly(f(n)))$ dışında bir sorun ortaya .

Bu sorun, sorgu karmaşıklığını $O(1)$ (Lemma 4.4) değerine düşüren bir doğrulayıcı oluşturarak kaldırılır .

— Lem n
kaynak