Tutarlılık uzayları ne zaman geri çekilmelere ve itişlere sahiptir?

$\newcommand{\symp}{\Bumpeq}$

kümesindeki bir tutarlılık ilişkisi dönüşlü ve simetrik bir ilişkidir. Tutarlılık boşluğu bir çifttir ve tutarlılık boşlukları arasındaki , ilişkisidir, öyle ki ve tüm , $\symp_X$ $X$ $(X, \symp_X)$ $f : X \to Y$ $f \subseteq X \times Y$ $(x,y) \in f$ $(x',y') \in f$

Eğer $x \symp_X x'$ daha sonra $y \symp_Y y'$ ve
Eğer $x \symp_X x'$ ve $y = y'$ daha sonra $x = x'$ .

Tutarlılık uzayları kategorisi hem Kartezyen hem de monoidal kapalıdır. Bu kategori için geri çekilme veya itme olduğunda ve geri çekilme veya itme sırasında bazı monoidal analogların (ve bu kavramın mantıklı olması durumunda nasıl tanımlanacağı) ne zaman olduğunu bilmek istiyorum.

— Neel Krishnaswami
kaynak

Bu tanım nereden geliyor? Girard, Lafont & Taylor'dakiler çok farklı görünüyor.

— Charles Stewart

İki tanım eşdeğerdir. Ben sadece web'i ilkel olarak alıyorum, buradaki kümeler dizisi türetilebilir.

— Neel Krishnaswami

Neel'in tanım seçimini orijinalinden çok daha anlaşılır buluyorum.

— Dave Clarke

Açık soruyu belirteceğim: her zaman var olmadıklarını biliyor musunuz? Başka bir deyişle, bir sınırlama / birlikte çalışma özelliği olmayan tutarlılık ilişkilerine ilişkin bir işlevin örneklerini biliyor musunuz?

— Ohad Kammar

İki tanım eşdeğerdir - Doğru, ama bu tanımı yaptınız mı, yoksa başka birinden mi aldınız? Büyük soru, btw, hiç kimsenin ekolayzırların her zaman var olup olmadığını bilmediğine şaşırdım.

— Charles Stewart

~~Şimdi tutarlılık uzayları için ekolayzırların nasıl tanımlanacağını görüyorum, bu da geri çekmeler her zaman var olduğu anlamına gelir (ürünler var olduğundan).~~ Aslında bunu nasıl yapacağımı bilmiyorum ....

Kompozisyonun olağan ilişkisel kompozisyon olduğunu hatırlayın, bu nedenle ve , o zaman: $f : A \to B$ $g : B \to C$

$f ; g = \{(a,c) \in A \times C \;|\; \exists b \in B.\; (a,b) \in f \land (b,c) \in g\}$

(Bu tanımda, varoluş aslında ima benzersiz varlığını. Elimizdeki olduğunu varsayalım , öyle ki ve . Bildiğimiz yana olduğu bu araçlarının'Daha sonra, bu araçlar sahip olduğumuz ve ve , buna bağlı olarak .) $b' \in B$ $(a,b') \in f$ $(b', c) \in g$ $a \Bumpeq_A a$ $b \Bumpeq_B b'$ $b \Bumpeq_B b'$ $(b,c) \in g$ $(b',c) \in g$ $b = b'$

Şimdi ekolayzerler inşa ediyoruz. Diyelim ki ve tutarlılık alanlarımız ve biçiminde morfizmimiz var . Şimdi ekolayzırı aşağıdaki gibi tanımlayın. $A$ $B$ $f, g : A \to B$ $(E, e : E \to A)$

Web için Bu, ve kabul ettiği tokenlerinin alt kümesini seçer (tutarlılık - ilk sürümümde bu yanlışlık vardı ) veya her ikisi de tanımsız.
$E = {\begin{array}{lc} \forall b . (a, b) \in f ⟹ \exists a^{'} ≎_{A} a . (a^{'}, b) \in g \\ a \in A & \land \\ \forall b . (a, b) \in g ⟹ \exists a^{'} ≎_{A} a . (a^{'}, b) \in f \end{array}}$ $E = \left\{ \begin{array}{l|c} & \forall b.\; (a,b) \in f \implies \exists a' \Bumpeq_A a.\; (a',b) \in g \\ a \in A & \land \\ & \forall b.\; (a,b) \in g \implies \exists a' \Bumpeq_A a.\; (a',b) \in f \\ \end{array} \right\}$ $A$ $f$ $g$
üzerindeki tutarlılık ilişkisini tanımlayın . Bu sadece üzerindeki tutarlılık ilişkisinin altkümesiyle sınırlandırılmasıdır . olduğu için bu dönüşlü ve simetrik olacaktır . $\Bumpeq_E = \{ (a,a') \in \Bumpeq_A \;|\; a \in E \land a' \in E\}$ $A$ $E$ $\Bumpeq_A$
Ekolayzer haritası , sadece diyagonalidir . $e$ $e : E \to A = \{(a, a)\;|\;a \in E\}$

İspatın ilk versiyonunu bozduğumdan, evrensellik özelliğini açıkça vereceğim. Herhangi bir başka nesnenin olduğunu varsayalım ve morfizmanın , öyle ki . $X$ $m : X \to A$ $m;f = m;g$

Şimdi tanımlamak olarak . Açıkçası , ancak eşitliği göstermek için göstermemiz gerekir . $h : X \to E$ $\{(x,a) \;|\; a \in E\}$ $h;i \subseteq m$ $m \subseteq h;i$

Yani m cinsinden olduğunu varsayın . Şimdi ve . $(x,a) \in m$ $\forall b.\; (a,b) \in f \implies \exists a' \Bumpeq_A a.\; (a',b) \in g$ $\forall b.\; (a,b) \in g \implies \exists a' \Bumpeq_A a.\; (a',b) \in f$

İlk olarak, kabul ve . Bunu biliyoruz Yani ve yüzden . Bu nedenle, , ve bunun içinde var olan şekilde ve . Yana , bildiğimiz've bunun içinde var olan şekilde . $b \in B$ $(a,b) \in f$ $(x,a) \in m$ $(a,b) \in f$ $(x,b) \in m;f$ $(x,b) \in m;g$ $a' \in A$ $(x,a') \in m$ $(a',b) \in g$ $x \Bumpeq x$ $a \Bumpeq a'$ $a' \Bumpeq a$ $(a',b) \in g$

Simetrik olarak, kabul ve . Biliyoruz ki Böylece ve , böylece . Bu nedenle, ve böylece orada şekilde ve . Yana , bildiğimiz've bunun içinde var olan şekilde . $b \in B$ $(a,b) \in g$ $(x,a) \in m$ $(a,b) \in g$ $(x,b) \in m;g$ $(x,b) \in m;f$ $a' \in A$ $(x,a') \in m$ $(a',b) \in f$ $x \Bumpeq x$ $a \Bumpeq a'$ $a' \Bumpeq a$ $(a',b) \in f$

— Neel Krishnaswami
kaynak

Ben ispat nasıl görmüyorum evrensel. Herhangi tek bir yolu faktörü bulunmaktadır ve ayarlayarak bu en kadar . Açıkçası , ama tersi tutan neden görmüyorum: Bazı almak ve bazı ile, . Sonra sahibiz , dolayısıyla seçiminden sahibiz . Bileşimin tanımından, bazı vardır şekilde, ve . Biz can anlamak o

e

$e$

m : X \to A

$m : X \rightarrow A$

h : X \to E

$h : X \rightarrow E$

h := {(x, a) : (x, a) \in m, a \in E}

$h := \{(x, a) : (x,a) \in m, a \in E\}$

h; e \subset m

$h;e \subset m$

x m a

$xma$

b \in B

$b \in B$

a f b

$afb$

x (m; f) b

$x(m;f)b$

m

$m$

x (m; g) b

$x(m;g)b$

a^{'}

$a'$

x m a^{'}

$xma'$

a^{'} g b

$a'gb$

a \symp a^{'}

$a \symp a'$ , ancak biz sadece ve biliyoruz , bu yüzden gerçekten ve .

a f b

$afb$

a^{'} g b

$a'gb$

a = a^{'}

$a=a'$

— Ohad Kammar

Evet haklısınız - ekolayzerin seçtiği alt küme eşitlik değil tutarlılığa kadar olmalıdır. Bunu yansıtmak için tanımı değiştirdim ve şemanın açıkça işlediğine dair kanıt verildi.

— Neel Krishnaswami

Ah ... Ama şimdi diyagramı eşitlemiyor. Gerçekten de, varsayalım . Sonra, tanımına göre, , dolayısıyla gibi . Ama bunu yok biz bu göstermez, böylece . Dün gece karşılaştığım aynı problemlerle karşılaşıyor gibi görünüyorsun, bu yüzden yukarıdaki açık sorum. Ama belki de başarısız olduğum yerde başarılı olacaksın! Bir sonraki adımım daha sofistike bir , gibi bir şey söyleyin , ama sonra geçerli bir morfizm değil, bu yüzden daha dikkatli bir seçim gerekiyor.

e

$e$

a (e; f) b

$a(e;f)b$

e

$e$

a f b

$afb$

a^{'} \symp a

$a'\symp a$

a^{'} g b

$a'gb$

a e a^{'}

$aea'$

a (e; g) b

$a(e;g)b$

e

$e$

a e a^{'} ⟺ a \symp a^{'}

$aea' \iff a\symp a'$

e

$e$

— Ohad Kammar

Şimdi cevabın neden birinin tezinde olduğunu umduğumu hatırlıyorum. :) Her neyse, daha çok düşüneceğim - ters görüntülerin çift olarak tutarsız olması nedeniyle bazı hileler olabilir.

— Neel Krishnaswami