Deterministik hata azaltma, son teknoloji mi?

Bir randomize (BPP) algoritması sahip varsayalım $A$ kullanılarak $r$ rastgelelik bit. İçin başarı onun olasılığını yükseltmek için Doğal yolları $1-\delta$ , herhangi seçilmiş için $\delta>0$ vardır

Bağımsız çalışır + çoğunluk oyu: işletilen $A$ bağımsız bir şekilde, $T=\Theta(\log(1/\delta)$ . Kez ve çıkışların çoğunluğu oylama Bu gerektirir $rT =\Theta(r\log(1/\delta))$ rasgelelik bitleri ve çalışma süresini bir $T=\Theta(\log(1/\delta))$ faktörüyle patlatır .
Çiftli bağımsız çalışma + Chebyshev: $A$ "çift bağımsız olarak" $T=\Theta(1/\delta)$ kez çalıştırın ve bir eşikle karşılaştırın Bu, $rT =\Theta(r/\delta)$ rasgele bitler gerektirir ve çalışma süresini havaya uçurur bir $T=\Theta(1/\delta)$ faktörü.

Karp Pippenger ve Sipser [1] (görünüşte; Kağıdın kendisinde elime değil, ikinci bir el hesap s) verilen alternatif güçlü normal genişleticiler göre yaklaşımları: esas olarak, bkz $2^r$ genleştiricinin düğümleri rastgele tohumlar olarak. $r$ rastgele bitlerini kullanarak genişleticinin rastgele bir düğümünü seçin ve ardından

uzunluk, kısa bir rastgele yürüyüş yapmak $T=\Theta(\log(1/\delta))$ oradan, ve çalışma $A$ ile $T$ çoğunluk oyu almadan önce, yol üzerinde düğümler tekabül eden tohum. Bu, $r+T = r+\Theta(\log(1/\delta))$ rastgele bitleri gerektirir ve çalışma süresini bir $T=\Theta(\log(1/\delta))$ faktörü ile patlatır .
çoğunluk oyu almadan önce mevcut düğümün tüm komşularında (veya daha genel olarak mevcut düğümün mesafesindeki tüm düğümlerde) $A$ çalıştırmak . Bu gerektirir , bir ile çalışan süresi rastgelelik bitlerini ve darbeler faktör, derecesi (veya Kilometreye için mahalle. Maliyet kadar, iyi bu uçları parametrelerinin ayarlanması burada. $c$ $r$ $T=d$ $d$ $d^c$ $c$ $T=\operatorname{poly}(1/\delta)$

Deterministik hata azaltımına karşılık gelen son mermi ile ilgileniyorum . Bağımlılığını azaltarak herhangi bir gelişme şu [1] kullanılarak olmuştur $T$ ile $\delta$ ? Şu anda elde edilebilecek en iyi nedir - $1/\delta^\gamma$ hangi $\gamma > 1$ ? $\gamma > 0$ ? ( $\textsf{BPP}$ mi? $\textsf{RP}$ mi?)

Not: yerine $\textsf{RP}$ de ilgileniyorum . [2] 'de tanıtıldığı gibi, ilgili yapı artık genleştiriciler değil, dağıtıcılardır (bakınız örn., Ta-Shma'nın bu ders notları , özellikle Tablo 3). Deterministik (izin verilen tek bir daha rastgele bit değil ) amplifikasyonu için karşılık gelen sınırları bulamadım , ancak (veya daha da önemlisi) ilgili parametre aralığı için son teknoloji ürünü açık dağıtıcı yapıların ne olduğunu bulamadım . $\textsf{BPP}$ $r$

[1] Karp, R., Pippenger, N. ve Sipser, M., 1985. Bir zaman-rastgelelik dengesi . AMS Olasılıksal Hesaplama Karmaşıklığı Konferansı'nda (Cilt 111).

[2] Cohen, A. ve Wigderson, A., 1989, Ekim. Disperserler, deterministik amplifikasyon ve zayıf rastgele kaynaklar. 30. Yılda Bilgisayar Biliminin Temelleri Sempozyumu (s. 14-19). IEEE.

— Clement C.
kaynak

Anladığım şu şekildedir (çoğunlukla yukarıda adı geçen dersler Ta-Shma , van Melkebeek'in ve Cynthia Dwork'ün ders notlarının üzerinde. Anlayabildiğim kadarıyla, dağıtıcılar birkaç rastgele bit daha katlanarak yükseltmek için harika , ancak 0 ekstra rastgele parça daha var

— Clement C.

(eğer bir kişi bu birkaç ekstra biti kullanmaya istekli ise, o zaman Ta-Shma'nın dersinin çok özetleyici tabloları vardır). Ekstra rastgelelik olmadan ,, genişletici tabanlı BPP / RP yaklaşımı sadece bir tanesine benziyor (van Melkebeek'in BPP için notlarına bakın, RP varyantı için Dwork's: her ikisi de çok benzer ve kağıda dayanıyor [1], ki ben doğrudan pdf bulamadı). Yok polinom derecesine bağlı olan bir açık vermek için görünür

o genleştirici grafik derecesi ve genişlemeye bağlı olarak,.

p o l y (1 / δ)

$\mathrm{poly}(1/\delta)$

— Clement

en azından doğrusal olacaktır: ancak genişletici grafiklerin (mevcut) en iyi bilinen yapıları için ne olacak? Aslında olasılıklı yapılar için bile mi?

1 / δ

$1/\delta$

— Clement

Ayrıca (ancak belirli bir soruya cevap vermez) İlgili: Bölüm 3.5.4 ve Salil Vadhan en belirtildiği 4 (Problem 4.6) Pseudorandomness .

— Clement C.

Van Melkebeek'in ders notları zaten bir $O(1/\delta)$ sınırı vermiyor mu? Oradaki sınır $\lambda$ en fazla $O(\sqrt{\delta})$ ve $\lambda = O(1/\sqrt{d})$ mevcut yapıların kullanılması.

Ayrıca Dwork en Özetler, gereken durum genişleme olmasıdır $C/\delta$ bir sabit için $C$ (esas olarak genişlemeyi geliştirmek güç kullandığını mesafe, c bir nokta şu an). Hangi tekrar derece $O(1/\delta)$ ile elde edilebilir .

Belki de gerekli koşu sayısında alt sınır $\Omega(1/\delta)$ .

— misafir
kaynak

Anlıyorum - bunu doğru yaptığımı doğrulamak için tekrar söylememe izin verin. İzin vermek

Elimizdeki ise bir spektral degree-, orijinal hata olasılığı olan

genişletici ile

ile ikinci düğüm özdeğer

α > 0

$\alpha>0$

d

$d$

R = 2^{r}

$R=2^r$

λ \leq \sqrt{δ} \cdot C_{α}

$\lambda \leq \sqrt{\delta}\cdot C_\alpha$

C_{α}

$C_\alpha$

d

$d$

(N, d)

$(N,d)$

λ \leq C / \sqrt{d}

$\lambda \leq C/\sqrt{d}$

N

$N$

d

$d$

d = O_{α} (1 / δ)

$d = O_\alpha(1/\delta)$

d

$d$

d - 1

$d-1$

λ = O (1 / \sqrt{d})

$\lambda = O(1/\sqrt{d})$

n

$n$

n

$n$

O (\sqrt{(\log^{3} d) / d})

$O(\sqrt{(\log^3 d)/d})$