Çeşitli grafiklerde oyun

Bazı düğümlerde bir çip bulunan yönlendirilmiş ağırlıklı bir grafik $G$ aşağıdaki oyunu düşünün .

Tüm $G$ düğümleri A veya B ile işaretlenmiştir.

İki oyuncu Alice ve Bob var. Alice'in (Bob) amacı, çipi A (B) işaretli bir düğüme kaydırmaktır.

Başlangıçta Alice ve Bob $m_A$sırasıyla A ve$m_B$ dolarlarına sahiptir.

Bir oyuncu kaybetme pozisyonundaysa (yani, çipin mevcut pozisyonu karşıt harfle işaretlenir), çipi komşu bir düğüme taşıyabilir. Böyle bir hareketin maliyeti biraz dolar (ilgili kenarın ağırlığı).

Oyuncu kaybettiği bir pozisyonda ise ve düzeltecek parası yoksa kaybeder.

Şimdi, tüm yönlendirilmiş ağırlıklı grafikler $G$ (tüm ağırlıklar pozitif tamsayılar), çipin başlangıç ​​pozisyonundan ve tekli gösterimde verilen Alice ve Bob başkentlerinden oluşan GAME dilini düşünün

öyle ki Alice bu oyunda bir kazanma stratejisine sahip.

GAME dili P'ye aittir . Gerçekten de, oyunun mevcut pozisyonu çipin pozisyonu ve Alice ve Bob'un mevcut başkentleri tarafından tanımlanır, bu nedenle dinamik programlama çalışır (burada başlangıç ​​sermayelerinin tekli temsilde verilmesi önemlidir).

Şimdi bu oyunun aşağıdaki genelleştirmesini düşünün. Yönlendirilmiş birkaç ağırlıklı grafik $G_1, \ldots G_n$Her grafikte bir çip bulunan G n. Tüm grafiklerin tüm düğümleri A ve B ile işaretlenir. Şimdi Bob tüm fişler B ile işaretlenirse kazanır ve Alice, A ile işaretlenmiş en az bir yonga kazanır.

Tüm grafik $G_1, \ldots, G_n$ , başlangıç ​​konumları ve büyük harf $m_A$ ve m'den oluşan MULTI-GAME dilini düşünün$m_B$ (tekli temsil) sahip olduğu, Alice gelen oyunu kazanır. Burada büyük harflerin tüm grafikler için ortak olması önemlidir, bu yüzden sadece birkaç bağımsız GAME değildir.

Question ÇOK OYUNLAR dilinin karmaşıklığı nedir? ( P'ye de mi ait yoksa bu sorunun zor olduğuna dair bazı nedenler var mı?)

UPD1 Neal Young , Conway'in teorisini kullanmanızı önerdi. Ancak bilmiyorum, bu teori ortak sermayeli birkaç oyun için kullanılabilir.

UPD2 ÇOK OYUNUN çok basit olmadığını gösteren bir örnek göstermek istiyorum. Alice sermaye Ayrılalım $m_A$ bazılarına $n$ terimleri $m_A = a_1 + a_2 + \ldots a_n$ (O kullanacak $a_i$ için dolar $i$ -inci grafiğin). Define $b_i$ içinde böyle az sayı olarak $i$ -inci oyun Bob kazanır Alice ve Bob varsa $a_i$ ve $b_i$ sırasıyla doları olarak gerçekleşmiştir. Eğer $b_1 + \ldots b_n > m_B$ (bazı ayırmalarda$m_A = a_1 + a_2 + \ldots a_n$ ) sonra Alice kazanır. Ancak bunun tersi doğru değildir. Aşağıdaki grafiğin iki kopyasını düşünün (başlangıçta çip sol A'dadır):

Bir grafik için Bob $m_A=0$ ve $m_B=2$ veya $m_A=1$ ve $m_B=3$ ise kazanır . Ancak bu grafiğin iki kopyası olan oyun için Bob $m_A=1$ ve $m_B=5$ ise kaybeder . Gerçekten, Bob her iki fişi de B ile işaretlenen bir düğüme kaydırmak için $4$ veya $5$ dolar harcamak zorunda.$B$ . Sonra Alice en az bir yongayı A ile işaretlenen bir düğüme kaydırabilir. Bundan sonra Bob'un pozisyonunu kurtarmak için parası yok.

UPD3 Keyfi grafikler sorusu zor göründüğü için belirli grafikleri düşünün. $G_i$ grafiğinin düğümlerini $1, \ldots k$ olarak belirtin . Benim sınırlama şöyledir: her çift için $i<j$ gelen kenarı vardır $i$ için $j$ ve ters kenar yoktur. Ayrıca kenar masrafları için bir kısıtlama söz konusu değildir: için $i<j<k$ kenar $j$ için $k$ gelen daha büyük değildir $i$ için $k$ .

Steven Stadnicki'nin cevabı asker tarafından kabul edilmiyor gibi göründüğünden, bir güncelleme sağlamanın yine de yararlı olabileceğini düşündüm: 3SAT'tan MULTI-GAME'a bir indirimim var. Steven'ın cevabına dikkatle bakmadım veya sağladığı bağlantıyı takip etmedim, ancak aşağıdaki indirime dayanarak, MULTI-GAME gerçekten PSPACE-tamamlandıysa şaşırmayacağım. Ancak bu sonucu NP sertliğinin ötesine genişletmekten rahatsız olmayabilirim.

Bir 3SAT örneği madde olup, $C_1, \dots, C_m$ , formu; her bir maddesi $C_i = L_{i1} \vee L_{i2} \vee L_{i3}$ , her $L_{ik}$ ya değişkenlerden biridir $x_1, \dots, x_n$ ya da değişkenlerden birinin olumsuzlanması.

Böyle bir 3SAT örneği verildiğinde, azalma $n + 1$ oyundan oluşan bir MULTI-GAME örneği oluşturur - her bir değişken için bir tane ve aşırı sermaye havuzu olarak kullanılan başka bir oyun. İlk önce her oyun için grafiklerin yapısını tanımlayacağız, daha sonra bir örneğe bakacağız ve ana fikri tartışacağız ve daha sonra indirgemeyi sağlamlaştırmak için kenarlara hangi maliyetlerin atandığını anlayacağız.

İlk olarak, değişken bir oyun grafik $G_j$ her değişken için $x_j$ :

1. A ile işaretli $x_j$ etiketli tepe noktası oluşturun (örneğin Alice için kazanan tepe noktası). $G_j$ çipi $x_j$ köşesinde başlar .
2. $T$ etiketli bir tepe noktası ve her biri B ile işaretlenmiş bir $F$ tepe noktası oluşturun (her ikisi de Bob için kazanan konumlardır). Her ikisi de 1 maliyetle $x_j$$T$ ve $F$ yönlendirilmiş kenarlar oluşturun .$1$

3. C i maddesinin her bir $L_{ik}$ için , eğer L i k = x j veya L i k = ¬ x j ise , C i T A ve C i F A ile A ve C i T B ile işaretlenmiş köşeler ve B ile işaretlenmiş C i F B Kenarları ekleyin ( T , C i T A ) ve$C_i$$L_{ik} = x_j$$L_{ik} = \neg x_j$$C_iTA$$C_iFA$$C_iTB$$C_iFB$$(T, C_iTA)$$(F, C_iFA)$ maliyetlerinin her ikisi de$l_{ik}$ ayarlanmıştır. (Biz tanımlayacağız$l_{ik}$ later.)

   Kenarları $(C_iTA, C_iTB)$ ve $(C_iTA, C_iTB)$ ekleyin . Eğer $L_{ik} = x_j$ , o zaman ayarlanır $(C_iTA, C_iTB)$ için 'nin ekonomik $l_{ik} - 1$ ve $(C_iTA, C_iTB)$ 'nin maliyeti$l_{ik}$ . Aksi takdirde$(C_iTA, C_iTB)$ 'nin maliyetini$l_{ik}$ ve$(C_iTA, C_iTB)$ ' nin maliyetini$l_{ik} - 1$ .

Sermaye lavabo oyunu:

1. B ile işaretlenmiş $C$ etiketli bir tepe noktası oluşturun .
2. Her bir $C_i$ cümlesi için , A ile işaretlenmiş $C_iA$ etiketli bir tepe noktası ve B ile işaretlenmiş $C_iB$ etiketli bir tepe noktası oluşturun $(C, C_iA)$ , kenar maliyeti $c_i$ olan bir kenar oluşturun (yine aşağıda belirtilecektir) ve ayrıca kenar maliyeti c i olan bir kenar $(C_iA, C_iB)$ .$c_i$

Bu, alınması gereken çok şey, umarım bir örnek bunu biraz daha sindirilebilir hale getirir. 3SAT örneğimiz aşağıdaki gibidir:

$C_1 = x_1 \vee x_2 \vee \neg x_3$

$C_2 = x_2 \vee x_3 \vee \neg x_4$

$C_3 = \neg x_1 \vee \neg x_3 \vee x_4$

İndirgeme, bu örneği 4 değişken oyun grafiğine ve 1 büyük lavabo grafiğine dönüştürür. Aşağıdaki şemalarda, kırmızı köşeler A ile işaretlenmiştir (yani Alice için kazanan konumlardır) ve camgöbeği köşeler B ile işaretlenmiştir (Bob için kazanan konumlardır).

$x_1$ için grafik :

$x_2$ için grafik :

$x_3$

$x_4$

Büyük lavabo grafiği:

Fikir aşağıdaki gibidir:

$n$$n$

$c_i$$l_{ik}$$C_i$

$C_i$$C_i = L_{i1} \vee L_{i2} \vee L_{i3}$$k \in \{1, 2, 3\}$$L_{ik} = x_j$$\neg x_j$$C_i?A$$x_j$$C_iA$

$C_i?A$$C_iTA$$C_iFA$

$C_i$$C_i$$l_{i1} + l_{i2} + l_{i3} + c_i$$C_i$$1$$c_i$$l_{ik}$ değerleri ve Alice ve Bob'un başlangıç ​​sermayeleri, söz konusu indirimin Alice veya Bob'un kazanıp kazanamayacağının belirleyici faktör olmasını sağlamaktır.

$b = m + 1$

$l_{ik} = 2b^{10} + ib^{2k}$$k \in \{1, 2, 3\}$

$c_i = 3b^{10} + b^8 - \sum_{k=1}^3 ib^{2k}$

$9b^{10} + b^8$

$9b^{10} + b^8 + n - 1.$

$m$

$C_i$$l_{i1} + l_{i2} + l_{i3} + c_i = 9b^{10} + b^8$$1$$n$

$C_i$$C_i$

Eğer Bob'un açılışı tüm maddeleri satıyorsa, Alice'in kazanma şansını ortadan kaldıran Alice'in seçenekleri üzerindeki kısıtlamaları tartışabiliriz. Bob'un tepkileri zorlandığından ve Bob'un Alice'in hareketlerine yanıt vermesi gereken toplam sermaye nedeniyle Alice'in hareketlerinin sırasının değişmediği için Alice'in hareketlerini yapma sırası önemsizdir.

• $\ge 5b^{10}$
• $\ge 9b^{10} + 3b^8 - 3b^7 > 9b^{10} + 2b^8$$\le 8b^{10} + 2b^8 + b^7$
• $\le 8b^{10} + 4b^7$

$b^{10}$$b^8$$9b^{10} + b^8$$C_iA$$b^{10}$$b^8$$\sum_{k=1}^3 ib^{2k}$$1$

• $l_{j3}$$C_j$$\le 3b^5$
• $l_{j3}$$l_{i3}$$l_{j3}$$j > i$$\ge (i+1)b^6$$l_{j3}$$j < i$$l_{(i - j)3}$$b^6$$b^2$$b^2$

$l_{i2}$$l_{i1}$$C_i$$l_{ik}$$1$

Önceki cevabım üzerine bir açıklama: Arka görüşte, bu cevabın yorumlarında tanımladığım MULTI-GAME TABLE-GAME varyantı için, sırt çantası tarzı bir DP'nin hangi oyuncunun kazanma stratejisine sahip olduğunu belirlemek için yeterli olduğu açıktır. Bob'un en iyi stratejisinin, verilen bir oyun masasında kaybedilen bir duruma her zaman mümkün olan en az yatırımla yanıt vermek olduğunu iddia edebilirsiniz (bu, Bob'un aksi takdirde alacağı sonraki bir hareketi kesemez) ve oradan sipariş Alice'in hamlelerinin önemi yok. Daha sonra, oyunlar arasında Alice'in sermayesinin bir bölünmesini seçme meselesi haline gelir, böylece Bob'un bu oyunlar üzerindeki en az kazanan tepkileri bütçesini aşar, bu da polinom zamanlı bir DP'ye sahip olan sırt çantası tarzı bir sorun olarak yeniden şekillendirilebilir. masrafların tekil temsiline. (Nüksüm aslında '

$n$

UPD3'teki özel durumunuz hakkında pek düşünmedim . Değişken aygıtlarımın bu kısıtlamalara uyarlanmış gibi bir bakışta görünmesinin nedeni de NP-zor olduğundan şüpheleniyorum, ancak muhtemelen daha fazla bakmayacağım.

Güncelleme: büyük olasılıkla yanlış, şimdilik bir caddeyi keşfetmenin bir kaydı olarak ayrılıyor. Yorumlara bakınız.

Güncelleme 2: kesinlikle yanlış.

$G = (V, E)$$V = \{1, 2, 3\}$$E = \{(1, 2), (2, 3)\}$

$m_A = m_B = 2$$G_1 = G_2 = G_3 = G$

$M[3,2,2]$$2-u, u$$v, 2 - v$$M[2, 2 - u, 2 - v] = B$$W[3, u, v] = B$$u = 1$$u = 2$$M[2, 2 - u, 2] = A$$u = 0$$W[3, u, 2] = A$

$u$$v$

$m_A, m_B, G_1, \dots, G_n,$

precompute

$W[k, x, y] = \begin{cases}A & \text{if Alice wins GAME on $G_k$ with initial funds $x$ for Alice and $y$ for Bob,} \\ B & \text{otherwise}\end{cases}$

$x \le m_A$$y \le m_B$

$M[k, x, y]$$k$$x \le m_A$$y \le m_B$$M[k, x, y] = B$$A$

$M[1, x, y] = W[1, x, y]$

ve

$M[k+1, x, y] = B \quad\text{if and only if}\quad \exists v \forall u, W[k+1, u, v] = B \:\:\text{and}\:\: M[k, x-u, y-v] = B.$

$M[n, m_A, m_B] = A$

$[n]$$n+1$$n\ldots 0$$i+1$$i$$0\leq i\lt n$$0$$0$$n$$[n]$$\geq n$$0$$0$

$G$$\alpha$$\beta$$\alpha$$[i]$$\beta$$\beta$$[j]$$[k]$$j\lt k$$\alpha$$\beta$$\beta$$[j]$$[k]$$[k]$$[i]$$\{i\mid\{j\mid k\}\}$