Quant Düzenini Tersine Çevirme Teknikleri

Genel olarak, evrensel ve varoluşsal niceleyicilerin sırasının tersine çevrilemeyeceği iyi bilinmektedir. Başka bir deyişle, genel bir mantıksal formül için ,$\phi(\cdot,\cdot)$

$(\forall x)(\exists y) \phi(x,y) \quad \not\Leftrightarrow \quad (\exists y)(\forall x) \phi(x,y)$

Öte yandan, sağ tarafın sol taraftan daha kısıtlayıcı olduğunu biliyoruz; yani, $(\exists y)(\forall x) \phi(x,y) \Rightarrow (\forall x)(\exists y) \phi(x,y)$ .

Bu soru, elde etmek için teknikler odaklanır $(\forall x)(\exists y) \phi(x,y) \Rightarrow (\exists y)(\forall x) \phi(x,y)$ bu için de geçerlidir zaman, $\phi(\cdot,\cdot)$ .

Köşegenleştirme böyle bir tekniktir. İlk kağıt içinde Hamiltonieninin bu kullanım bölümü arasında Relativizations $\mathcal{P} \overset{?}{=} \mathcal{NP}$ soru (bakınız ayrıca Katz tarafından kısa bir not ). Bu yazıda, yazarlar önce şunu kanıtlar:

Herhangi bir deterministik, polinom-zaman oracle makinesi M için, L dili B (ne L (M ^ B) olacak şekilde bir B dili vardır $L_B \ne L(M^B)$.

Daha sonra , kanıtlamak için niceleyicilerin sırasını ( köşegenleştirme kullanarak ) tersine çevirir :

Tüm deterministik, poli-time M için olacak şekilde bir B dili vardır .$L_B \ne L(M^B)$

Bu teknik, [CGH] ve [AH] gibi diğer makalelerde kullanılır .

[IR] Teorem 6.3'ün ispatında başka bir teknik buldum . Ölçü sırasını tersine çevirmek için ölçü teorisi ve güvercin deliği prensibi kombinasyonunu kullanır .

Evrensel ve varoluşsal niceleyicilerin sırasını tersine çevirmek için bilgisayar biliminde başka hangi tekniklerin kullanıldığını bilmek istiyorum.

Niceleyicilerin tersine çevrilmesi, çoğu zaman iyi bilinen teoremlerin arkasındaki önemli bir özelliktir.

Örneğin, analizde arasındaki fark ve arasındaki farktır izlemeli ve düzgün süreklilik. İyi bilinen bir teorem, alanın güzel, yani küçük olması şartıyla, her noktadaki sürekli haritanın düzgün bir şekilde sürekli olduğunu söylüyor .$\forall \epsilon > 0 . \forall x . \exists \delta > 0$$\forall \epsilon > 0 . \exists \delta > 0 . \forall x$

Aslında, kompaktlık, niceleyicinin tersine çevrilmesinin kalbidir. İki veri türleri düşünün ve olan açık ve kompakt (bu terimlerin açıklaması için aşağıya bakın) ve izin arasında bir semidecidable bağıntı ve . Deyimi , aşağıdaki gibi okunabilir: Her bir nokta de bir kapsamındaki . kümeleri "hesaplanabilir açık" (yarı tanımlı) ve$X$$Y$$X$$Y$$\phi(x,y)$$X$$Y$$\forall y : Y . \exists x : X . \phi(x,y)$$y$$Y$$U_x = \lbrace z : Y \mid \phi(x,z) \rbrace$$U_x$$Y$Kompakt olup sonlu bir alt kapak vardır. Bunu ispat ettik , anlamına gelir Genellikle, sonlu listenin varlığını tek bir indirgeyebiliriz . Örneğin, doğrusal sipariş ve içinde monoton olan düzenine göre o zaman alabilir büyük biri olmak .

$$\forall y : Y . \exists x : X . \phi(x,y)$$ $$\exists x_1, \ldots, x_n : X . \forall y : Y . \phi(x_1,y) \lor \cdots \lor \phi(x_n, y).$$ $x_1, \ldots, x_n$$x$$X$$\phi$$x$$x$$x_1, \ldots, x_n$

Bu ilkenin bilinen bir durumda nasıl uygulandığını görmek için, nin sürekli bir fonksiyon olduğu ifadesine bakalım . Dış evrensel bir niceleyici hakkında için değişkenini serbest değişken olarak saklarız : Çünkü kompakttır ve reals karşılaştırılması, ifade semidecidable olan yarı tanımlanabilir. Olumlu gerçekler açık ve küçük, bu nedenle şu prensibi uygulayabiliriz: $f : [0,1] \to \mathbb{R}$$\epsilon > 0$

$$\forall x \in [0,1] . \exists \delta > 0 . \forall y \in [x - \delta, x + \delta] . |f(y) - f(x)| < \epsilon.$$ $[x - \delta, x + \delta]$$\phi(x, \delta) \equiv \forall y \in [x - \delta, x + \delta] . |f(y) - f(x)| < \epsilon$$[0,1]$ $$\exists \delta_1, \delta_2, \ldots, \delta_n > 0 . \forall x \in [0,1] . \phi(\delta_1, x) \lor \cdots \phi(\delta_n, x).$$ Yana içinde antimonotone olan en küçük bir zaten iş yok, bu yüzden sadece bir ihtiyaç : Elimizde tek biçimli sürekliliği var .$\phi(\delta, x)$$\delta$$\delta_1, \ldots, \delta_n$$\delta$ $$\exists \delta > 0 . \forall x \in [0,1] . \forall y \in [x - \delta, x + \delta] . |f(y) - f(x)| < \epsilon.$$ $f$

Belli belirsiz konuşma, bir veri türü olan kompakt bir hesaplanabilir evrensel niceleyici ve varsa aleni bir hesaplanabilir varoluşsal niceleyici varsa. (Negatif olmayan) tamsayılar aşikardır, çünkü olup olmadığına semidecide etmek , semidecidable ile paralel arama yaparak kırlangıç yaparak gerçekleştiririz . Cantor alanı , Paul Taylor'un Soyut Taş İkiliği ve Martin Escardo'nun "Veri Tipleri ve Klasik Uzayların Sentetik Topolojisi " (" Aranabilir Alanlar " kavramına bakınız) tarafından açıklandığı gibi, kompakt ve açıktır .$\mathbb{N}$$\exists n \in \mathbb{N} . \phi(n)$$\phi(n)$$2^\mathbb{N}$

İlkeyi bahsettiğiniz örneğe uygulayalım. Bir dili (sonlu) sözcüklerden sabit bir alfabe üzerindeki bir boolean değerlerine eşleme olarak görüyoruz. Sonlu kelimeler, tamsayılarla hesaplanabilir bijective yazışmalarında olduğu için bir dili tamsayılardan boole değerlerine bir harita olarak görebiliriz. Başka bir deyişle, tüm dillerin veri türü, hesaplanabilir izomorfizme, kesin olarak Cantor alanına nat -> boolveya kompakt olan matematiksel notasyonuna sahiptir. Bir polinom-zaman Turing makinesi, sınırlı bir dize olan programı ile tarif edilir, böylece tüm alanların (gösterimlerinin) alanı Turing makinelerinin açık veya olarak alınabilir .$2^\mathbb{N}$nat$\mathbb{N}$

Bir Turing makinası Verilen ve bir dil , deyim "dil diyor ki tarafından reddedilen bir bakıma bu Karar verilebilen olduğundan" semidecidable: sadece çalıştırmak girdi ile ve gördükleri öyle. İlkemiz için şartlar yerine getirildi! İfadesi "Her kahin makinesi bir dil vardır öyle ki tarafından kabul edilmeyen olarak sembolik yazılır" Niceleyicilerin ters çevrilmesinden sonra $M$$c$$\mathsf{rejects}(M,c)$$c$$M$$M$$c$$M$$b$$b$$M^b$

$$\forall M : \mathbb{N} . \exists b : 2^\mathbb{N} . \mathsf{rejects}(M^b,b).$$ $$\exists b_1, \ldots, b_n : 2^\mathbb{N} . \forall M : \mathbb{N} . \mathsf{rejects}(M^{b_1}, b_1) \lor \cdots \lor \mathsf{rejects}(M^{b_n},b_n).$$ Tamam, bu yüzden son derece dillere bağlıyız. Onları tek bir tanede birleştirebilir miyiz? Bunu bir egzersiz olarak bırakacağım (kendim ve senin için!).

nasıl dönüştürüleceği ile ilgili biraz daha genel bir soru da ilginizi çekebilir nin eşdeğer bir ifadesine veya tersi. Bunu yapmanın birkaç yolu vardır, örneğin:$\forall x . \exists y . \phi(x,y)$$\exists u . \forall v . \psi(u,v)$

• Skolem, normal bir şekilde ,
• Ot ve normal form ,
• Gödel'in işlevsel yorumu .

Impagliazzo'nun sert çekirdekli set lemması, sayısallaştırıcıları hesaplama sertliği varsayımları bağlamında değiştirmenize izin veriyor. İşte orijinal kağıt . İlgili gazeteleri ve yayınları tonlarca Googling'te bulabilirsiniz.

Lemma eğer söylüyor her için algoritma A vardır , sabit bir fonksiyon f hesaplamak için başarısız üzerinde girdilerin büyük bir set, daha sonra aslında vardır üzerinde girdilerin büyük bir set , her algoritma 1'e yakın bir olasılık ile ön hesaplamak için başarısız / 2.

Bu lemma, her ikisi de anahtarlama niceleyicilerinin örnekleri olan min-max teoremi veya güçlendirme (hesaplamalı öğrenme teorisinden bir teknik) kullanılarak kanıtlanabilir.

Bana göre, Karp-Lipton teoreminin "kanonik" kanıtı (bu ) bu tada sahiptir. Fakat burada, nicelleştiricilerin tersine çevrildiği gerçek teorem ifadesi değil, küçük devrelere sahip olduğu varsayımıyla alternatif nicelleştirici modelinde “nicelleştiriciler” ters çevrilir .$NP \subseteq P/poly \Longrightarrow \Pi_2 P = \Sigma_2 P$$NP$

Bir formun hesaplanmasını simüle etmek istiyorsunuz

$(\forall y)(\exists z)R(x,y,z)$

burada bir polinom-zaman göstergesidir. Bunu, (söylenebilir ) tatmin edici bir özellik için küçük bir devresi tahmin ederek , değiştirerek , kendisini kontrol etmesi ve girişi uygun olduğunda tatmin edici bir atama üretmesi ile yapabilirsiniz. Sonra, tüm , 'ye eşdeğer bir SAT örneği oluşturun ve çözün. Yani formun eşdeğer bir hesaplamasını yaptınız$R$$C$$C$$y$$S(x,y)$$(\exists z)R(x,y,z)$

$(\exists C)(\forall y)[S(x,y)$ göre tatmin edici .$C]$

Olasılıklı metoda bağlı sendikanın temel kullanımı, nicelik sırasını tersine çevirmenin bir yolu olarak yorumlanabilir. Her ne kadar zaten bu sorudan bahsedilse de, Impagliazzo ve Rudich'in ispatı bunun bir örneği olduğundan, bunun daha açık bir şekilde ifade edilmeye değer olduğunu düşünüyorum.

Varsayalım ki X sonlu olduğunu ve her için x ∈ X , bildiğimiz sadece bazı y ∈ Y tatmin φ ( x , y ) aynı zamanda o çok seçenek y ∈ Y tatmin φ ( x , y ). Resmen, bildiğimizi varsayalım (∀ x ∈ X ) Pr _{y ∈ Y} [￢φ ( x , y )] <1 / | X | Y ile ilgili bazı olasılıksal önlemler için. Öyleyse sendika sınırlaması, (∃ y ∈ Y ) (∀ x ∈ X ) φ ( x , y değerine eşdeğer olan Pr _{y ∈ Y} [(∃ x ∈ X ) ￢φ ( x , y )] <1 sonucunu vermemize izin verir. ).

Bu argümanın varyasyonları var:

1. Eğer X sonsuzdur, biz bazen ayrıklaştırılabilir X üzerinde uygun bir metrik dikkate alarak X ve ε bunun -NET. X'i ayrıklaştırdıktan sonra , yukarıdaki gibi bağlı birliği kullanabiliriz.

2. Olaylar olduğunda φ ( x , y , farklı değerleri için) x neredeyse bağımsız, kullanabileceğimiz Lovász yerel Lemmasını yerine bağlı birliğin.

Başka birkaç teknik eklemek istiyorum. İlk iki teknik, evrensel ve varoluşsal niceleyicilerin sırasını tam olarak tersine çevirmek için olmasa da, çok benzer bir tada sahiptir. Bu nedenle, onları burada tarif etme fırsatı buldum:

Ortalama Lemma: ve diğer birçok ilginç teoremleri ispatlamak için kullanılır . Gayri resmi olarak , bazı kütüphanelere abone kümesini, kitaplıktaki kitap kümesini , ve , önerisinin doğru olduğunu kitabı sever. . " Her için ise: ortalama lemması bildiren ve en az 2/3 vardır, 's , öyle ki , daha sonra tek vardır tutan$BPP \subset P/poly$$S$$B$$s\in S$$b \in B$$\phi(s,b)$$s$$b$$s \in S$$b$$B$$\phi(s,b)$$b \in B$, En az 2/3, öyle ki 's , teklif sahiptir. (Bu indirgeme reklam absurdum ve sayma argümanı ile kolayca kanıtlanabilir .)$s$$S$$\phi(s,b)$

Şimdi izin verin ve karar veren bir PPT makinesi olmasına izin verin . çalışma süresinin bir polinom ile sınırlı olduğunu varsayalım . Daha sonra, herhangi bir ve en az 2/3 'in, , bu bu tutar . Burada, , rasgeleliği kullanan makinesidir ve nin karakteristik işlevidir . Ortalama lemma daha sonra herhangi bir için olduğunu göstermek için kullanılır.$L \in BPP$$M(\cdot)$$L$$M$$q(\cdot)$$x \in \{0,1\}^*$$r$$r \in \{0,1\}^{q(|x|)}$$M_r(x) = \chi_L(x)$$M_r(\cdot)$$M$$r$$\chi_L(\cdot)$$L$$n \in \mathbb{N}$Tek vardır , öyle ki, en az 2/3 'in uzunluğu, , . Bu tek , tavsiye olarak çalışır ve bu nedenle .$r \in \{0,1\}^{q(n)}$$x$$n$$M_r(x) = \chi_L(x)$$r$$M$$BPP \subset P/poly$

NOTE: I re-emphasize that this is not a quantifier switching technique, but it has the same spirit.

Değişen Lemma: Zachos ve Fürer , yeni bir olasılıksal niceleyici tanımlayıcıyı (yaklaşık olarak "çoğu için" anlamına gelir) tanıttı . Bunu kanıtladılar (ayrıntıları ihmal ederek):$\exists^+$

$(\forall y)(\exists^+z) \phi(x,y,z) \Rightarrow (\exists^+ \mathbf{C})(\forall y)(\exists z \in \mathbf{C})\phi(x,y,z)$

Bunun ikinci dereceden bir mantık teoremi olduğuna dikkat edin.

Değişen lemmayı kullanarak BPP teoremi ve Babai'nin teoremi gibi ilginç teoremleri kanıtladılar . Daha fazla bilgi için sizi orijinal belgeye yönlendiririm.$MA \subseteq AM$

Bahsedilen Karp-Lipton teoremi benzer bir teoremi Ryan Williams : yazı .$coNP \subset NP/Poly \Longrightarrow \Pi_3 P = \Sigma_3 P$