kesim normuna göre ağlar

içindeki gerçek matrisinin kesim normu tüm miktarının. $||A||_C$ $A = (a_{i,j}) \in \mathcal{R}^{n\times n}$ $I \subseteq [n], J \subseteq [n]$ $\left|\sum_{i \in I, j \in J}a_{i,j}\right|$

İki ve matrisi arasındaki mesafeyi olarak $A$ $B$ $d_C(A,B) = ||A-B||_C$

Metrik uzaydaki en küçük nedir? $\epsilon$ $([0,1]^{n\times n}, d_C)$

yani en küçük alt-kümesi büyüklüğü $S \subset [0,1]^{n\times n}$ gibi tüm bu $A \in [0,1]^{n\times n}$ , bir vardır $A' \in S$ öyle ki $d_C(A, A') \leq \epsilon$ .

(DÜZENLEME: Bahsetmeyi unuttum, ama aynı zamanda "uygun olmayan" $\epsilon$ ağları, ile ilgileniyorum $S \subset \mathcal{R}_+^{n\times n}$ - yani $\epsilon$ -net'in [0,1] dışında girişleri var, bu da ilginç.)

Hem üst sınırlarla hem de alt sınırlarla ilgileniyorum.

Not kesim sparsifier teknikleri ima olduğunu $\epsilon$ -nets kesim metrikleri ama gerekmez daha güçlü vermek için bir şey - onlar vermek $\epsilon$ -net kendisi için verimli bir şekilde bulabilirsiniz $\epsilon$ basitçe bundan örnekleme yoluyla herhangi matrise -yakın noktası matris. Bir örnek , keyfi bir matrise bir -close noktası bulabileceğiniz çok daha küçük $\epsilon$ ağları olduğunu düşünebilir . $\epsilon$

Başlangıçta bu soru soruldu burada mathoverflow üzerinde.

— Aaron Roth
kaynak

A'nın kesim normu, A'nın her girişinin mutlak değerinden büyük veya ona eşit olduğundan, bir net-net'in en az (1 / (2ε)) ^ (n ^ 2) boyutuna sahip olması gerektiği açıktır. Kesilen parçalayıcı tekniğinden türetilen üst sınır nedir? (Bu muhtemelen aptalca bir soru, ama bu tekniği bilmiyorum.)

— Tsuyoshi Ito

Sadece emin olmak için, önceki yorumumun ilk yarısını bir cevaba çevirdim (ve bir üst sınır ekledim). Hala kesik sparifikasyon tekniğinden elde edilen üst sınırla ilgileniyorum.

— Tsuyoshi Ito

Yukarıdaki teknik , yerine girişleri olan matrisleri verir . Bu yazıda bahsetmeyi unuttum, ama aynı zamanda -covers türleriyle de ilgileniyorum .

{0, m | | A | |_{1}}

$\{0, m||A||_1\}$

[0, 1]

$[0,1]$

ϵ

$\epsilon$

— Aaron Roth

-net Eğer kesim seyreltme aldığım aslında yalan değildir . Matrisi, yönlendirilmiş bir grafiğin kenarları üzerinde olasılık dağılımı olarak yorumlayın ve dağılımdan kenarları örnekleyin . Her kenarı . VC boyutunda bağımsız değişkenlerle (veya yalnızca kesimlere bağlı bir birleşim) herhangi bir kesmedeki maksimum toplama hatası . Bu, kenarlarındaki (uygun şekilde ağırlıklandırılmış) grafik kümesinin için önemsiz bir -net oluşturduğunu ima eder .

ϵ

$\epsilon$

[0, 1]^{n \times n}

$[0,1]^{n×n}$

m = \tilde{O} (n / ϵ^{2})

$m=\tilde{O}(n/\epsilon^2)$

| | A | |_{1} / m

$||A||_1/m$

O (ϵ n^{2})

$O(\epsilon n^2)$

n^{5} / ϵ^{2}

$n^5/\epsilon^2$

ϵ

$\epsilon$

ϵ > n^{3 / 2}

$\epsilon>n^{3/2}$

— Aaron Roth

İşte kolay bir tahmin. Burada bir dizi arama S ⊆ X, bir ε -ağ bir metrik boşluk, X , her bir nokta için zaman x ∈ X , bir nokta da mevcuttur s ∈ S arasındaki mesafe olacak şekilde X ve s olan en £ değerinin . Eğer tanımında sıkı eşitsizliği istiyorsanız ε -net, sen değerini çimdik £ değerinin biraz.

Bunu tutar || A || _∞ ≤ || A || _C ≤ n ² || A || _∞ , burada || A || _∞ , bir n × n matrisinin A giriş maks. Normunu belirtir .

Bir imali kolay olan ε metrik alan -ağ ([0,1] ^{, N} , D _∞ ) boyutu ile ⌈1 / (2 ε ) ⌉ ^N , ve bu boyutu minimum olduğunu göstermek için zor değildir. (⌈1 / (2 göz önünde minimality göstermek için £ değenni ) ⌉ ^N , koordinatları 1 / ⌈1 / (2 katı olan noktalar £ değerinin bu noktaların herhangi ikisi arasındaki mesafe olduğu) -1⌉ ve göstermek 2'den daha büyük ε .) ayarlayarak n = n ² kesik norm ve maksimum normunda, bir minimum önem düzeyi arasında yukarıda bahsedilen karşılaştırma ile ve birleştirme £ değerinin-net kesme normuna göre olan en az ⌈1 / (2 ε ) ⌉ ^{n ²} ve en fazla ⌈ n ² / (2 ε ) ⌉ ^{n ²} .

Güncelleme : Hesaplamam doğruysa, hacim argümanıyla daha iyi bir alt sınır Ω ( n / ε ) ^{n ²} elde edilebilir. Bunu yapmak için, biz bir üst bir hacmine bağlı ihtiyacım ε kesim normuna göre -ball.

İlk olarak, pozitif elemanların toplamı ile negatif elemanların reddedilen toplamı arasındaki maksimum olan tek bir vektörün "kesim normu" nu düşünürüz. Bir hacmi olduğunu göstermek zor değil ε ℝ içinde -ball ⁿ bu “kesim norm” bakımından eşittir

ε^{n} \sum_{I \subseteq {1, \dots, n}} \frac{1}{| I |!} \cdot \frac{1}{(n - | I |)!} = ε^{n} \sum_{r = 0}^{n} (\binom{n}{r}) \frac{1}{r! (n - r)!}

$\varepsilon^n \sum_{I \subseteq \{1,\dotsc,n\}} \frac{1}{|I|!} \cdot \frac{1}{(n-|I|)!} = \varepsilon^n \sum_{r=0}^n \binom{n}{r} \frac{1}{r!(n-r)!}$

= \frac{ε^{n}}{n!} \sum_{r = 0}^{n} {(\binom{n}{r})}^{2} = \frac{ε^{n}}{n!} (\binom{2 n}{n}) = \frac{(2 n)! ε^{n}}{(n!)^{3}} .

$= \frac{\varepsilon^n}{n!} \sum_{r=0}^n \binom{n}{r}^2 = \frac{\varepsilon^n}{n!} \binom{2n}{n} = \frac{(2n)!\varepsilon^n}{(n!)^3}.$

Daha sonra, bir kesik norm yana n x n matris A ya da her bir sıranın kesme normu, bir hacmine eşit daha büyüktür ε ℝ içinde -ball ^{n x n} en çok olduğu , n , bir hacminin inci gücü ε -ball ℝ içinde ⁿ . Bu nedenle, [0,1] ⁿ^×ⁿ ε- ağının boyutu en az

\frac{(n!)^{3 n}}{(2 n)!^{n} ε^{n^{2}}} = {(Ω (\frac{n}{ε}))}^{n^{2}},

$\frac{(n!)^{3n}}{(2n)!^n \varepsilon^{n^2}} = \left(\Omega\left(\frac{n}{\varepsilon}\right)\right)^{n^2},$

Burada son eşitlik Stirling'in formülünü kullandığımız sıkıcı bir hesaplamadır : ln n ! = n ln n - n + O (log n ).

— Tsuyoshi Ito
kaynak

Sorunun düzenlenmesine (revizyon 4) yanıt olarak, bu cevapta belirtilen alt sınır “uygun olmayan” n-ağlar için de geçerlidir.

— Tsuyoshi Ito

Güzel görünüyor, doğru görünüyor!

— Hsien-Chih Chang 張顯之

@ Hsien-Chih: Teşekkürler. En çok sevdiğim kısım, ℝ ^ n cinsinden ε-top hacminin hesaplanmasında binom katsayılarının kullanılmasıdır.

— Tsuyoshi Ito

Ağın boyutundaki alt sınırın (eşdeğer olarak, hacimdeki üst sınırın) geliştirilebileceğinden şüpheleniyorum. Ben sordum ilgili soru MathOverflow üzerinde.

— Tsuyoshi Ito