Max-3SAT ile ilgili herhangi bir bilgiyi hesaplama

Bir 3CNF formül için $C$ izin $M(C)$ için bir atama memnun maddeleri, maksimum sayıda olması $C$ . Max-3SAT'ın yaklaşık olarak zor olduğu (P ≠ NP'ye tabi) olduğu, yani girişi bir 3CNF formül $C$ olan ve çıktısının $M'$ olan $M(C)$ olduğu bir çoklu zaman algoritması olmadığı bilinmektedir. M> ' den çarpımsal faktör , ki burada c > 0 mutlak bir pozitif sabittir.$1+c$$M'$$c>0$

Ayrıca herhangi bir sabit modül p için hesaplamanın NP'nin zor olduğuna inanıyorum . Bu iki gerçeklerin aşağıdaki ortak genelleme doğru olup olmadığını merak:, girişi 3CNF formül bir polytime algoritması mevcuttur Cı ile , N maddeleri ve bir dizi \ log_2 Not olan çıkış öneriler bitleri ve M (Cı) . Burada B mutlak bir sabittir. Düz bir deyişle, M (C) ' nin B bilgi bitlerini hesaplayan bir algoritma yoktur .$M(C) \bmod p$$p$$C$$N$$\log_2 N-B$$M(C)$$B$$B$$M(C)$

Sorunun iyi bilinen bir cevabı varsa, özür dilerim, çünkü ben karmaşık bir teorisyen değilim.

Burada, Max 3SAT’ı, sabit sayıda tavsiye verilen bir m-fıkra örneğinde çözebilecekseniz, o zaman polinom hiyerarşisinin çökeceği üzerine bir argüman var.

NP-tamamlanmış bir problemi çözme L. Cook teoreminden, L için x girişlerinin f () 'nin 3SAT formüllerine f (x)' e dönüşmesini biliyoruz

1) ise daha sonra$x\in L$$M(f(x)) = m$

2) Eğer daha sonra$x\in L$$M(f(x)) = m-1$

burada cümlelerden sayısıdır .$m$$f(x)$

Biz de verilirse o diyor Kadin bir teoremi var girişler NP-tam problemin, sen kılan bir polinom zaman algoritması var bir NP kahine sorgular ve belirler NP sorunlarına doğru cevap , sonra polinom hiyerarşisi çöktü.$k$$x_1,\ldots,x_k$$\leq k-1$$k$$x_i \in ? L$

Farz edelim ki m SAT cümlesi girdilerinde Max SAT'yi çözen bir algoritmaya sahip olduğumuzu varsayalım. Hastad'ın sonucunu, Kadin teoreminin öncülünde olduğu gibi bir algoritma oluşturmak için kullanacağız.

Başlat giriş problemi . Cook teoremini her birine uygulayın. Bazı normalleştirmelerden sonra (bu maddeler maddelere ağırlık atamakla ya da ağırlık kullanmak istemiyorsak onları çoğaltmak suretiyle yapılabilir), belirli bir için formülleri :$K=2^k+1$$x_1,\ldots,x_K$$L$$K$$F_1,\ldots,F_K$$m$

1) ise ve aksi$M(F_1)= m-1$$x_1 \in L$$M(F_1) = m-2$

2) , eğer ve , aksi takdirde$M(F_2) = m\cdot (m-1)$$x_2 \in L$$M(F_2) = m\cdot (m-2)$

...

k) , eğer ve , aksi takdirde$M(F_K) = m^{K-1} \cdot (m-1)$$x_K\in L$$M(F_K) = m^{K-1} \cdot (m-2)$

Şimdi ayrık değişkenler kümeleri üzerine inşa edilmiş formüllerin birleşimini ele alın ve . Yani , ve problemlerinin cevabını "okuyabiliriz" baz-bakarak temsili . Biz hesaplayabilir Eğer Verilen tavsiye bitleri, biz bulmak anlamına gelir bunlardan biri olacak şekilde değerlerini . Daha sonra uyarlanabilir olmayan bir NP olup olmadığını . aday değerlerinin her biri için olup olmadığını$F$$M(F) = M(F_1) + \cdots + M(F_k)$$K$$x_i \in? L$$m$$M(F)$$M(F)$$k$$2^k$$M(F)$$M(F) \geq n_i$$n_1,\ldots,n_{2^k}$biz ürettik. Böylece, NP-tam problemi örneklerini adapte olmayan sorgular yaparak bir NP oracle'sına çözebildik, bu da polinom hiyerarşisinin çökmesi anlamına geliyor.$2^k+1$$2^k$

Hastad teoremini yerine Cook'un teoremini kullanarak, o boyutunu itmek mümkün için yerine onu itmek mümkün yani, için ve danışma bit sayısı için . Size tavsiye bitlerinde ne olduğunu anlamak çok zor görünüyor.$F$$O(1)^k \cdot m$$m^k$$k$$\log m$$\log\log m$$\log m - O(1)$

Eklemek için düzenlendi: Krentel ( Optimizasyon Problemlerinin Karmaşıklığı . J. Comput. Syst. Sci. 36 (3): 490-509 (1988) ), için maksimum klik probleminin optimum değerinin hesaplanmasının tamamlandığını kanıtladı. , ile polinom zamanında hesaplanabilen fonksiyonların sınıfı bir NP kahinini sorgular. "bir sorgu azaltma" altındadır, ki burada f işlevi, eğer hesaplanabilir ve polinom süresi için yazabiliyorsa g işlevine indirgenebilir . Max Clique için, eğer Max Clique, listesini üreten bir polinom zaman algoritmasına sahipse.$FP^{NP[O(log n)]}$$O(log n)$$f(x) = r_1(g(r_2(x))$$r_1$$r_2$$m^{o(1)}$Olası değerler, , çünkü liste boyutunu günlük tutan bir dizi sorguyla optimum olanı bulmak için ikili aramayı kullanabilirsiniz.$FP^{NP[o(logn)]}$

Şimdi, eğer varsa kesinlikle olurduk Karar sorunları için özel bir durum olan ve (Wagner'in (sürekli sorgulamalar için geçerli olan Kadin'in sonucunun iyileştirilmesi) sonuçlanan) polinom hiyerarşisini daraltmasıyla bilinen . Ancak, 'in aslında P = NP olduğu anlamına gelebileceğini düşünüyorum . Ancak, her durumda, Krentel ve Kadin-Wagner'in sonuçları, Andy Drucker'in sonucunun başka bir kanıtını vermek için yeterli olmalıdır. Şimdi bunun aynı kanıt olup olmadığını merak ediyorum, yani, Fortnow-Van Melkebeek sonucunun "daha az NP sorgusu olan NP sorgularını simüle etme" argümanı ile açıkça veya dolaylı olarak işe yaraması durumunda.$FP^{NP[O(log n)]} = FP^{NP[o(log n)]}$$P^{NP[O(log n)]} = P^{NP[o(log n)]}$$FP^{NP[O(log n)]} = FP^{NP[o(log n)]}$

Optimizasyon problemleri ve sınırlı sorgu sınıfları ile neler olduğunu açıklayan iyi bir anket makalesi:

http://www.csee.umbc.edu/~chang/papers/bqabh/npfsat.pdf

Bu sorunun NP zorluğunu kanıtlamanın zor olmasının bir nedeni olduğunu belirtmek isterim.

Her sabiti için polinom zamanda şu sorunu çözülebilir mi sorusuna yaptığı bir yorumda, Luca Trevisan sorunu yeniden ifade için güzel bir yol verdi k ? Bir CNF formülü verilen Cı ile m en maddeleri, çıkış m / k bunlardan biri eşit şekilde tamsayı , M ( Cı ). İşte k ilgilidir B tarafından k = 2 ^B .

Ancak, daha fazlasını talep edelim. Yani, şu problemi göz önünde bulundururuz: bir CNF formül C verildiğinde , iki tamsayı çıkarıp bunlardan birinin M ( C ) 'ye eşit olmasını sağlayın . Bu sorunu by ile gösteririz. Sorun Π en azından orijinal sorun kadar zor, bu yüzden orijinal sorun NP zor ise Π de NP zor olmalı.

Π'nin bir ilişki problemi olduğuna dikkat edin. Bir problemi L' yi bir ilişki problemine reduce azaltmak için kullanılabilecek en basit redüksiyon türlerinden biri , bir polinom-süre Levin indirgemesidir; bu, polinom-zaman Turing azaltmasının özel bir halidir; bir Zamanlar.

P ^{Π [1]} = P olduğunu iddia ediyoruz . Bu açıkça, P = NP olmadıkça NP⊈P ^{] [1]} , yani Π, P = NP olmadığı sürece polinom-zaman Levin indirgenmesi altında NP-sert olmadığı anlamına gelir.

Kanıt . Let L ∈P ^{Π [1]} ya da başka bir deyişle, bir Levin azalma vardır L tt için. Bir çift (var olduğu bu araçlar f , g bir polinom zamanlı hesaplanabilir fonksiyonu) f {0,1} ^* → {0,1} ^* Her örnek haritalar x problem L bazı CNF, formül f ( x ) ve polinom-zaman hesaplanabilir bir yordam g : {0,1} ^* × ℕ × ℕ → {0,1} öyle ki, g ( x , i , j ) = L( x ) i veya j'nin M ( f ( x )) 'ye eşit olması durumunda . (Burada L ( X ise) 1 = X bir evet örneği L ve L ( X ise) = 0 x no-örneğidir.)

Bundan L için bir polinom-zaman algoritması kurarız. Let X bir giriş olarak.

1. Let Cı = f ( x ) ve izin m cümlelerden sayı C .
2. Bir i ∈ {0,…, m } bulun ve öyle ki g ( x , i , j ) değeri j ∈ {0,…, m } 'den bağımsız olarak sabit olsun .
3. Bu sabiti g ( x , i , 0) olarak verin.

2. adımda, böyle i daima vardır çünkü i = M ( f ( x )) koşulu yerine getirir. Ayrıca, bu algoritma yanlış bir cevap veremez çünkü g ( x , i , M ( f ( x ))) doğru cevap olmalıdır. Bu nedenle, bu algoritma L'yi doğru şekilde çözer . QED .

Yanılmıyorsam, aynı fikir P ^{Π [ k ( n )]} ⊆DTIME [ n ^{O ( k ( n ))} ] olduğunu kanıtlamak için kullanılabilir . Bu ima NP⊈P ^{Π [ k ]} bir sabiti k NP⊈P P = NP sürece ve ^{TT [polylog]} NP⊆DTIME [2 sürece ^polylog ]. Bununla birlikte, tek başına bu fikir, polinom-zaman Turing indirgenebilirliği altında NP'nın NP-zor olma olasılığını dışlıyor gibi görünmemektedir.

Gösterebileceğimize inanıyorum:

İddia. değerinde , aşağıdakiler doğrudur. Bir göz önüne alındığında, bu belirleyici bir poli-algoritma zaman var varsayalım 3-SAT örneği -clause , bir liste üretir en bölgesinin değerleri, bu şekilde ; sonra polinom hiyerarşisi çöktü.$0 < c < 1$$m$$\phi$$S$$m^c$$M(\phi) \in S$

Kanıtı üzerinde Fortnow ve Santhanam sonuçlarını kullanan örnek sıkıştırma infeasibility onların kâğıt gelen http://www.cs.uchicago.edu/~fortnow/papers/compress.pdf

Özellikle, onların Thm 3.1'in kanıtlarına bakarak, birinin aşağıdakileri alabileceğine inanıyorum (Yakında bunu tekrar kontrol edeceğim):

"Teorem" [FS]. Aşağıdakiler doğru olacak şekilde tamsayıları vardır . Deterministik poli-time'da, bir Boolen formülünün (her biri ve ayrık değişken setlerinde) bir formülünün OR'una (yine değişken-ayrık ve uzunluk ), OR'nin tatmin edilebilirliğini / memnuniyetsizliğini korumak. Sonra ve polinom hiyerarşisi çöktü.$0 < d' < d$$n^d$$\leq n$$n^{d'}$$\leq n$$\mathsf{NP} \subseteq \mathsf{coNP/poly}$

Talebimizin kanıtı, yukarıdaki teorem [FS] 'de belirtilen OR sıkıştırma görevinden, liste hesaplama sorununa bir azalma olacaktır . nin sıkıştırmak istediğimiz formüllerin listesi olduğunu varsayalım .$M(\phi)$$\psi_1, \ldots, \psi_{n^d}$

İlk adım: giriş dizgilerinde polinom boyutlu bir devre tanımlayın . Burada dizgisi bir atama kodlar ve ile arasında bir sayıyı kodlar .$\Gamma$$(v, y_1, \ldots, y_{n^d})$$y_i$$\psi_i$$v \in \{0, 1\}^{d \log n + 1}$$0$$n^d$

Biz ya IFF kabul , ya da .$\Gamma$$v = 0$$\psi_v(y_v) = 1$

Şimdi izin maksimum değeri ifade kısıtlı devresi bu şekilde, karşılanabilir olduğu. (Bu miktar her zaman en az 0'dır).$M^*(\Gamma)$$v$$\Gamma(v, \cdot, \ldots, \cdot)$

Diyelim ki için olası değerlerin bir listesini verimli bir şekilde oluşturabilelim . Öyleyse iddia, , olduğu tüm atabiliriz ; Elde edilen liste, orijinal listeye göre tatmin edici bir formül içeriyor. Umarım bu inceleme ile açıktır.$S$$M^*(\Gamma)$$\psi_1, \ldots, \psi_{n^d}$$\psi_i$$i \notin S$

Sonuç: güvenilir bir liste üretemez ait için olası değerleri , poli hiyerarşi çökmeler edilmiştir.$S$$\leq n^{d'}$$M^*(\Gamma)$

İkinci Adım: 3-SAT örnekleri için liste-hesaplama nın liste-hesaplama sorununu azaltırız .$M^*(\Gamma)$$M(\phi)$$\phi$

Bunu yapmak için, önce ilgili Cook indirgemeden 3-SAT örneği elde etmek için büyüklüğü . , bazı yardımcı değişkenlerle birlikte ile aynı değişkene sahiptir . Amaçlarımız için en önemlisi, tatmin iff tatmin edicidir.$\Gamma$$\phi_1$$m = poly(n^d)$$\phi_1$$\Gamma$$\phi_1(v, \cdot)$$\Gamma(v, \cdot)$

'güçlü kısıtlar' diyoruz . Bu kısıtların her birine ağırlık veriyoruz (çift kısıtlamalar ekleyerek).$\phi_1$$2m$

Ardından , dizininin (1. adımda tanımlanan) mümkün olduğunca yüksek olmasını tercih eden bir dizi 'zayıf kısıtlama' . Her bir bit için bir kısıtlama yoktur arasında , yani . Biz izin en anlamlı bit-inci ağırlığı kadar bir kısıtlama sahip . Yana uzunluğu olan bu ağırlıklar (sadece izin pedi gerek entegre olabilir, 2 bir gücü olması).$\phi_2$$v$$v_t$$v$$[v_t = 1]$$t$$v$$m/2^{t-1}$$v$$d \log n + 1$$m$

Son olarak, indirgememizin çıktısı olsun.$\phi = \phi_1 \wedge \phi_2$

Analiz etmek , izin değişken-kümesi ile, önceki gibi. İlk not, ye yapılan herhangi bir atama yapıldığında, değerinin ( sağladığı sınırlamalarının toplam ağırlığı miktarından çıkabileceğini unutmayın . Bu, kısıtlama ağırlıklarının hiyerarşik tasarımından kaynaklanmaktadır (Luca'nın cevabından bir tekniğe benzer şekilde). Benzer şekilde, elde edilebilecek maksimum değeri tüm güçlü kısıtlamaları sağlayan bir ayar ile elde edilir ve burada (buna tabi)$\phi$$(v,z)$$\phi$$v$$(v, z)$$v$$N(v, z) =$$\phi$$v, z$
$M(\phi)$$(v, z)$$v$mümkün olduğu kadar büyük. Bu , için tatmin edici olan en büyük endekstir , yani . (Not: all-0 olarak ayarlayarak her zaman güçlü kısıtlamaları sağlamanız mümkündür, çünkü bu durumda karşılanabilir.)$v$$\Gamma(v, \cdot)$$M^*(\Gamma)$$v =$$\Gamma(v, \cdot)$

Biz bir liste verilirse, o izler olası değerlerin , biz bir listesini elde edebilirsiniz olası değerleri . Böylece biz olamaz. Poli hiyerarşi sürece . Bu, beri Talebi verir .$S$$M(\phi)$$|S|$$M^*(\Gamma)$$|S| \leq n^{d'}$$n^{d'} = m^{\Omega(1)}$