Metrik yapıların teoride CS / kafeslere uygulamaları CS

17

Terim aşırı yüklendiğinden, önce kısa bir tanım. Bir poşet bir dizi kısmi düzenine sahip . İki elemanları göz önüne alındığında , biz tanımlayabilir kendi azından üst bağlanmış olarak (birleştirme) ve benzer tanımlamak bağlı düşük bir en büyük olarak (karşılamak) (birleştirme). $X$ $\le$ $a,b \in X$ $x \vee y$ $X$ $x \wedge y$

Kafes, herhangi iki öğenin benzersiz bir buluşma ve benzersiz bir birleşime sahip olduğu bir posettir.

Kafesler (bu formda) teoride CS'de (kısaca) altmodülerlik (alt küme kafesi ile) ve kümeleme (bölüm kafesi) teorisinin yanı sıra etki alanı teorisinde (çok iyi anlamıyorum) ve statik analizi.

Ama kafeslerde metrik yapıları kullanan uygulamalarla ilgileniyorum. Basit bir örnek, herhangi bir antimonoton alt modüler fonksiyonun (antimonotone, ) metrik bir indüklediği anlamına gelir. $f : X \rightarrow R$ $x \le y, f(x) \le f(y)$

d (x, y) = 2 f (x \land y) - f (x) - f (y)

$d(x,y) = 2f(x \wedge y) - f(x) - f(y)$

Bu metrik, bir veri kümesinin iki farklı kümesini karşılaştırmanın bir yolu olarak yaygın bir şekilde kullanılmıştır.

Metrik yapıları önemseyen diğer kafes uygulamaları var mı? Alan teorisi / statik analiz uygulamasına ilgi duydum, ancak şu ana kadar metriklere ihtiyaç duymadım .

— Suresh Venkat
kaynak

12

İlk olarak, bir yorum. Soru türünüz, geometrik olarak ne kadar "metrik" kelimesini ifade etmek istediğinize bağlıdır. Anlambilim ve statik analizde ultrametri kullanmak oldukça yaygındır, ancak ultrametri geometrik bir yorumdan ziyade birleştirici bir eğilime sahiptir. (Bu, alan teorisinin topolojinin geometrik kullanımından ziyade kombinatoryal bir lezzete sahip olduğu gözleminin bir varyantıdır.)

Bununla birlikte, bunun program kanıtlarında nasıl ortaya çıktığını gösteren bir örnek vereceğim. İlk olarak, bir program kanıtında, bir programı açıklayan bir formülün bulunduğunu göstermek istediğimizi hatırlayın. Genel olarak, bu formülün booleanlarla yorumlanması zorunlu değildir, ancak bazı gerçek değerleri kafeslerinin unsurlarından çıkarılabilir. O zaman gerçek bir formül, kafesin tepesine eşit olan bir formüldür.

Ayrıca, çok kendi kendine referans programları (örneğin, kendini değiştiren koddan kapsamlı olarak yararlanan programlar) belirtilirken, çok zorlaşabilir. Genellikle programın özyinelemeli bir belirtimini vermek isteriz, ancak tanımın asılacağı açık bir endüktif yapı olmayabilir. Bu sorunu çözmek için, doğruluk değeri kafesini ekstra metrik yapı ile donatmak genellikle yararlıdır. Sonra, sabit noktasını istediğiniz yüklemin kesinlikle büzülme olduğunu gösterebilirseniz, istediğiniz özyinelemeli yüklemin iyi tanımlanmış olduğu sonucuna varmak için Banach'ın sabit nokta teoremine itiraz edebilirsiniz.

En tanıdığım duruma "adım indeksleme" denir. Bu ayarda, bizim kafes almak ait aşağıya kapalı alt kümeleri olmak doğruluk değerleri elemanları biz gevşek "özelliği tutan üzerine değerlendirme dizilerinin uzunlukları" olarak yorumlayabilir. Karşılaşmalar ve birleşimler, her zamanki gibi kavşaklar ve birliklerdir ve kafes tamamlandığından, Heyting etkisini de tanımlayabiliriz. Kafes, iki kafes elemanı arasındaki mesafenin olmasını sağlayarak bir ultrametrik ile de donatılabilir , burada , bir setteki en küçük elementtir, ancak diğeri değildir. $\Omega$ $\mathbb{N}$ $2^{-n}$ $n$

Ardından, Banach'ın kasılma thoerem kontraktif yüklem söyler map benzersiz sabit noktası vardır. Sezgisel olarak, bu, adımını tutan bir sürümü kullanarak adımlarını tutan bir yüklem tanımlayabilirsek , aslında bir yüklemin açık bir tanımına sahip olduğumuzu söyler . Daha sonra yüklemin eşit olduğunu gösterirsek, yüklemin her zaman programa uygun olduğunu biliyoruz. $p : \Omega \to \Omega$ $n+1$ $n$ $\top = \mathbb{N}$

— Neel Krishnaswami
kaynak

ah ilginç. Sorunuzun cevabında, tek umurumda olduğum metrik sadece şudur: üçgen eşitsizliğini tatmin eder. Bu yüzden ultrametrikler gayet iyi. Ancak, (ve bu benim sorudaki eksikliğim) bana göre metriğin burada kullanımı Banach'a erişim sağlamak için yapısal. Metriği tek başına umursamazsınız (ve metriğe yaklaşmak veya hesaplamak gibi şeyler önemsizdir). Bu doğru mu ?

— Suresh Venkat

4

Evet, metriği fazla önemsemiyoruz. Bu aslında metrik veya adım indeksli modellerde bir rahatsızlık kaynağıdır - neden umursadığımız bilgileri izliyoruz? Bir modelin metriğe (belki de büzülme açısından muhafazakar) bir yaklaşım sınıfı altında kararlı olduğunu göstermek, onunla rahatlığı artıracaktır.

— Neel Krishnaswami

9

Daha sık kullanılan CPO'lara alternatif olarak Arnold ve Nivat metrik uzayları, anlamsal anlambilimin alanları olarak araştırdılar [1]. Tezinde Bonsangue [2] bu tür anlamsal anlambilim ve aksiyomatik anlambilim arasındaki ikilemi araştırdı. Burada bahsetmiştim, çünkü çok kapsamlı bir genel resim veriyor.

[1]: Bir Arnold, M Nivat: Sonsuz Ağaçların Metrik Yorumları ve Deterministik Olmayan Yinelemeli Programların Anlambilimi. Theor. Comput. Sci. 11: 181-205 (1980) 'de tarif edilmiştir.
[2]: MM Bonsangue Anlambilimde Topolojik Dualite , ENTCS 8. cilt, Elsevier 1998.

— Kai
kaynak

Fantastik - Bu tezin çevrimiçi olduğunu bilmiyordum!

— Neel Krishnaswami

3

Marcello'nun (Bonsangue) konuşulduğunu bilmesine izin verdim. (Belki de katılacak.)

— Dave Clarke

5

İşte bir (tesadüfen, okuma kuyruğumun tepesinden):

Chaarathuri, Sumit Gulwani ve Roberto Lublinerman Karşılaştırması. Programların Süreklilik Analizi. POPL 2010.

Yazarlar, ifadeleri temel alınan bir ürün metrik uzayındaki değerlerden işlevler olarak yorumlayan, basit döngülerle zorunlu bir dil için bir anlamsal anlambilim verir. Buradaki nokta, "if" ve döngüler varlığında bile hangi programların sürekli işlevleri temsil ettiğini belirlemektir. Hatta belirli girdiler ve çıktılarla sınırlı süreklilikle ilgili sorulara bile izin verirler. (Bu, yol uzunluğunda sürekli olan, ancak gerçek yolda olmayan Dijkstra algoritmasını analiz etmek için önemlidir.)

Metrik alan gerektiren bir şey görmedim - şu ana kadar genel topoloji kullanılarak yapılmış olabilir - ama sadece 3. sayfadayım :)

— Neil Toronto
kaynak

1

tabii ki, bir önceki cevapta olduğu gibi, burada hiçbir posta veya kafes yoktur. Ben eksik olan bu.

— Suresh Venkat

3

Başka bir cevap eklediğim için özür dilerim, ama bu yukarıdaki yanıtla ilgisiz.

Eşzamanlılık öğrencilerini tahriş etmek (ya da eğitmek mi?) İçin rutin olarak kullandığım metrik uzaylar sonsuz izler. İndüklediği topoloji, güvenlik ve canlılık özelliklerini sırasıyla sınır kapalı ve yoğun olarak karakterize etmek için kullanılan bir Alpern ve Schneider'dir [1] .

\begin{array}{rcl} d : Σ^{ω} x Σ^{ω} & ⟶ & {R,}_{\geq 0} \\ (σ, τ) & \mapsto & 2^{- yudum {ben \in N- | σ |_{ben} = τ |_{ben}}} \end{array}

$\begin{array}{@{}rcl} d : \Sigma^\omega\times\Sigma^\omega & \longrightarrow & \mathbb{R}_{{}\ge 0}\\ % (\sigma,\tau) & \mapsto & 2^{-\sup \{~i\in\mathbb{N} ~|~ \sigma|_i = \tau|_i~\}} \end{array}$

σ |_{i}

$\sigma|_i$

σ

$\sigma$

i

$i$

2^{- \infty} = 0

$2^{-\infty} = 0$

Geçmişe baktığımda, bu cevabın ayrıca bir kafes veya poset yapısının temel bileşeninden yoksun olduğunun farkındayım. Ancak böyle bir kafes yapı, Clarkson ve Schneider'in hiperproperty olarak adlandırdığı şeye kadar bir seviye hareket ettirildiğinde mevcuttur [2]. Yazarken, metriğin nasıl kaldırılacağı bana açık değil.

[1] B Alpern ve FB Schneider. Canlılığı tanımlamak. IPL, 21 (4): 181-185, 1985.
[2] MR Clarkson ve FB Schneider. Hyperproperties. BOS, s51-65, IEEE, 2008.

— Kai
kaynak

\sum_{k = 1}^{n} k = n (n + 1) / 2

$\sum_{k=1}^n k = {n(n+1)}/{2}$ . Daha fazla bilgi için bu meta gönderiye bakın .

— Hsien-Chih Chang 張顯之

@HCH teşekkürler, yazımı buna göre düzenledim ve biçimlendirme tavsiyesi için açık ağlamayı kaldırdım.

— Kai

Güzel formül!

— Hsien-Chih Chang 張顯之