Teorik bilgisayar bilimi için gerekli olan aksiyomlar

Bu soru, mathoverflow'ta uygulamalı matematik hakkındaki benzer bir sorudan ilham alır ve P ile NP gibi TCS'nin önemli sorularının ZFC'den (veya diğer sistemlerden) bağımsız olabileceğini düşündürmek gibi dürtücü bir düşünceden ilham alır . Küçük bir arka plan olarak, ters matematik , bazı önemli teoremleri kanıtlamak için gerekli olan aksiyomları bulma projesidir. Başka bir deyişle, gerçek olmasını beklediğimiz bir dizi teoremle başlıyoruz ve bunları yapan asgari 'doğal' aksiyomları türetmeye çalışıyoruz.

TCS'nin önemli teoremlerine ters matematik yaklaşımının uygulanıp uygulanmadığını merak ediyordum. Özellikle karmaşıklık teorisine. TCS'deki birçok açık soruda kilitlenme olduğu için, "hangi aksiyomları kullanmaya çalışmadık?" Diye sormak doğal görünüyor. Alternatif olarak, TCS'deki önemli soruların, ikinci dereceden aritmetiğin bazı basit alt sistemlerinden bağımsız olduğu gösterildi mi?

cc.complexity-theory lo.logic proof-complexity

— Artem Kaznatcheev
kaynak

Bağımsız olmayabilir iki olası aksiyom: 1) 3-SAT

zaman gerektirir . 2) göz önüne alındığında karşılanabilir 3SAT formülü, en az her verimli bir algoritma tatmin

maddelerin -fraksiyonu. Ayrıca, iki eşit büyüklükteki primere çarpmanın ters çevrilmesi zordur (verimli).

2^{Ω (n)}

$2^{\Omega(n)}$

7 / 8

$7/8$

— Muhammed El-Türkistan

Bu yazının konusu: Harry Buhrman, Lance Fortnow, Leen Torenvliet, "Teorem Arayışında Altı Hipotez", CCC, ss.2, 12. Yıllık Hesaplamalı Karmaşıklık IEEE Konferansı (CCC'97), 1997

— Mohammad Al-Turkistany

Aşağıdaki soru ilgilidir: cstheory.stackexchange.com/questions/1923/… TCS’nin çoğu RCA_0’da resmileştirilebilir. Grafik minör teoremi nadir bir istisnadır. Neel'in vurguladığı gibi, yeni fikirler istiyorsanız, o zaman yeni fikirler arayın; Yeni aksiyomları aramayın. İkisi aynı değil.

— Timothy Chow

Neden

ya da

ilgili ifadeler gibi sonuçların ortaya çıktığıyla kafam karıştı . İlk TCS dersimde doğal sayılarla ve üzerlerindeki bazı temel fonksiyonlarla başladık. Gerisi takip ediyor. Anlaşılan soruyu anlamıyorum.

P

$P$

N P

$NP$

— Raphael,

Sadece bu fark, ancak görünüşe Lipton bu yazı benzer bir soru sordu: rjlipton.wordpress.com/2011/02/03/... , alıntı: "Elimizdeki o kadar PA ötesinde fikirler içeren geçirmez teknikler vardır acaba kullanılmadı ve hangisinin bazı önemli sorunların çözülmesine yardımcı olacağını söyledi. (PA Peano Aritmetik =)

— Artem Kaznatcheev

Yanıtlar:

Evet, konu kanıt karmaşıklığında incelenmiştir. Buna Sınırlı Ters Matematik denir . Bazı ters matematik sonuçlarını içeren bir tabloyu Cook ve Nguyen'in " Prova Karmaşıklığının Mantıksal Temelleri " adlı kitabının 8. sayfasında , 2010'da bulabilirsiniz. Steve Cook'un önceki öğrencilerinden bazıları benzer konularda çalıştı, örneğin Nguyen'in tezi, " Sınırlı Ters Matematik " , Toronto Üniversitesi, 2008.

Alexander Razborov (ayrıca diğer kanıt karmaşıklığı teorisyenleri), devre karmaşıklığı tekniklerini resmileştirmek ve devre karmaşıklığı alt sınırlarını kanıtlamak için gereken zayıf teoriler üzerinde bazı sonuçlara sahiptir. Zayıf teoriler için bazı çözülemezlik sonuçları elde ediyor, ancak teorilerin çok zayıf olduğu düşünülüyor.

$RCA_0$ $\mathbf{P} vs. \mathbf{NP}$ $PA_1$ $PA_1$ $PA$

— Kaveh
kaynak

Bu bağımsızlık sonuçları büyük atılımlar olacaktır, ancak bunların hemen güçlü sonuçları olduğunu sanmıyorum; Neel'in cevabı hakkındaki yorumuma bakın.

— Timothy Chow

P A

$PA$

P A_{1}

$PA_1$

P A

$PA$

P A

$PA$

P A_{1}

$PA_1$

Nihai sorunuza olumlu bir cevap olarak, yapıların hesabı gibi polimorfik lambda taşlarının normalizasyon kanıtları, en azından daha yüksek dereceli aritmetik gerektirir ve daha güçlü sistemler (indüktif yapıların hesabı gibi), ZFC artı sayılabilir olarak erişilemeyen sayısızdır.

$P \not= NP$ $PA_1$ $DTIME(n^{\log^{*}(n)})$ $PA$ $PA_1$

Daha felsefi olarak, tutarlılık gücünü bir soyutlamanın gücüyle eşitleme hatasını yapmayın.

Bir konuyu düzenlemenin doğru yolu, tutarlılık gücü açısından tam olarak gerekli olmasalar bile, görünüşte vahşi küme teorik ilkelerini içerebilir. Örneğin, güçlü toplama ilkeleri tekdüzelik özelliklerini belirtmek için çok kullanışlıdır - örneğin, kategori teorisyenleri, tüm grupların kategorisi gibi şeyleri nesnelermiş gibi manipüle etmek için zayıf büyük kardinal aksiyomların olmasını ister. En ünlü örnek, gelişimi Grothendieck evrenlerinden yoğun bir şekilde faydalanan, ancak uygulamalarının (Fermat'ın Son Teoremi gibi) görünüşte üçüncü dereceden aritmetik içinde bulunduğu cebirsel geometridir. Çok daha önemsiz bir örnek olarak, genel kimliğin ve kompozisyon işlemlerinin, kümelerin tüm evreni üzerinde endekslendiklerinden, işlev olmadıklarına dikkat edin.

$\sigma$ $X$ $X$

EDIT: Mantıksal sistem A, A'nın tutarlılığı B'nin tutarlılığını gerektiriyorsa, B sisteminden daha fazla tutarlılık gücüne sahiptir. Örneğin, ZFC, PFC'nin ZFC'deki tutarlılığını kanıtlayabileceğiniz için Peano aritmetiğinden daha fazla tutarlılık gücüne sahiptir. A ve B, eğer eşdeğerlerse aynı tutarlılık gücüne sahiptir. Örnek olarak, Peano aritmetiği, eğer sadece Heyting (yapıcı) aritmetiği ise tutarlıdır.

IMO, mantık hakkındaki en şaşırtıcı gerçeklerden biri, tutarlılık gücünün "bu mantıkta toplamı ispatlayabileceğiniz en hızlı büyüyen fonksiyon nedir?" Sorusuna indirgenmesidir. Sonuç olarak, birçok mantık sınıfının tutarlılığı doğrusal olarak sıralanabilir! İki mantığınızın toplamını gösterebileceği en hızlı büyüyen fonksiyonları tanımlayabilecek sıralı bir gösterime sahipseniz, trichotomy ile ikisinin de diğerinin tutarlılığını kanıtlayabileceğini veya eşdeğer olduğunu biliyorsunuzdur.

Ancak bu şaşırtıcı gerçek, tutarlılık gücünün matematiksel soyutlamalar hakkında konuşmak için doğru araç olmasının da nedenidir. Kodlama hilelerini içeren bir sistemin değişmezliğidir ve iyi bir soyutlama , hileler olmadan bir fikri ifade etmenizi sağlar . Ancak, bu fikri resmen ifade etmek için mantık hakkında yeterince bilgimiz yok.

— Neel Krishnaswami
kaynak

'tutarlılık gücü' nedir?

— Suresh Venkat

Ben-David ve Halevi'nin kanıtladığı şey bu değildi. En önemli sürücülerini "şu anda mevcut olan teknikleri kullanarak" göz ardı ettiniz. Makalelerini P = NP sorusu hakkında çok fazla şey söylemekten çok mevcut ispat tekniklerimizin ne kadar zayıf olduğunu vurgulayarak yorumluyorum.

— Timothy Chow