Bir boole devresini bir boole formülüne dönüştürmenin karmaşıklığı

Bir boolean devre Verilen üzerinde (sadece DEĞİL kullanan, AND ve OR kapıları) değişkenler, devre tarafından temsil edilen boolean formülü ayıklamak için en etkili yolu nedir? Bu sorun için bir çoklu zaman algoritması var mı? $C$ $n$

cc.complexity-theory time-complexity boolean-functions

— Nikhil
kaynak

Devrenin ne tür kapıları var?

— Lev Reyzin

Fan girişi veya fan çıkışı ile ilgili hangi kısıtlamalar var? Sadece tek bir fan çıkışı varsa, o zaman önemsizdir: devrenin kendisi aslında formül için bir AST'dir.

— Mark Reitblatt

Genel olarak sınırlı fan girişi. Ama kesin olarak söylemek gerekirse, AND ve OR'de fan girişi 2 diyelim. Literatürdeki birçok referansta, bir devre ve formüllerin birbirinin yerine kullanıldığını görüyorum, ancak bir devreyi formüle dönüştürmenin kolay olup olmadığını bilmek istiyorum sorun.

— Nikhil

Genel olarak, herhangi bir eşdeğer formülün küçük bir devre için bile üstel boyutta olmasını beklersiniz.

— Kristoffer Arnsfelt Hansen

Polinom boyutlu formüller devrelerine eşdeğerdir . Çok boyutlu devrelerin ( ) eşdeğer olduğu bilinmemektedir . Formüller ve devreler genellikle devrenin derinliği sınırlandığında birbirinin yerine kullanılır.

N C^{1}

$NC^1$

P / p o l y

$P/poly$

N C^{1}

$NC^1$

— Kaveh

Sorunuzu doğru bir şekilde anlarsam, CIRCUIT-SAT'dan SAT'a standart azaltmayı kullanabileceğinizi söyleyebilirim: Her kapıyı yeni bir değişken olarak temsil edin ve ardından tüm devreyi CNF formunda temsil edin, her bir cümle ; burada yeni değişkendir ve giriş formülü , diğer kapıların girişleri temsil eden değişkenleri kullanarak tarafından verilir . Bu basit bir geçişle yapılabilir (doğrusal bir zamanda, açıkça optimaldir). $(v\leftrightarrow\phi)$ $v$ $\phi$

Örneğin, hade eğer üç giriş, , ve , AND bağlayan kapılar ve sıra sıra ve , ve eğer gates- temsil etmek üç değişkeni sokabilmekteydi onların çıkışlarını birbirine bağlayan bir OR kapısı , ve , sırasıyla, ve aşağıdaki formüle yenidenÇıktı değişkeninin açıkça dahil edildiğine dikkat edin. $x_1$ $x_2$ $x_3$ $x_1$ $x_2$ $x_2$ $x_3$ $v_1$ $v_2$ $v_3$

(v_{1} \leftrightarrow (x_{1} \land x_{2})) \land (v_{2} \leftrightarrow (x_{2} \land x_{3})) \land (v_{3} \leftrightarrow (v_{1} \lor v_{2})) \land v_{3} .

$(v_1\leftrightarrow(x_1\land x_2))\land (v_2\leftrightarrow(x_2\land x_3))\land (v_3\leftrightarrow(v_1\lor v_2))\land v_3\,.$

Algoritmalara Giriş Cormen ve ark. NP-Tamlık bölümünde bunu ayrıntılı olarak açıklar.

— Magnus Lie Hetland
kaynak

CIRCUIT-SAT fan çıkışı 1 kapılarını kullanmıyor mu?

— Mark Reitblatt

Elbette - ama görebildiğim kadarıyla, bu azaltmayı / dönüşümü etkilemez. Her çıktıyı yeni bir değişken olarak temsil etme fikri, her çıktıyı bir giriş olarak birkaç kez yeniden kullanabileceğiniz anlamına gelir (keyfi olarak büyük fan çıkışına karşılık gelir). Başka bir deyişle, bu cevapta verilen çözüm keyfi devreler için çalışmalıdır.

— Magnus Lie Hetland

Tahminimce bu istenen şey değil . Bence istenen şey, devre ile aynı değişkenler kümesi üzerinde bir formül yapmaktır.

— Kristoffer Arnsfelt Hansen

Hm. Evet, muhtemelen haklısın. Yeni değişkenlerin tanıtılması CIRCUIT-SAT - CNF-SAT durumunda mantıklıdır, ancak daha genel bir ortamda değil - katılıyorum.

— Magnus Lie Hetland

C

$C$

x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}

$x_1, x_2, \ldots, x_n$

ϕ (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})

$\phi(x_1, x_2, \ldots, x_n)$