Elmas normu ile ilişkili devletlerin mesafesi arasında herhangi bir bağlantı var mı?

Kuantum bilgi teorisinde, iki kuantum kanalı arasındaki mesafe genellikle elmas normu kullanılarak ölçülür. İki kuantum durum arasındaki mesafeyi ölçmenin birkaç yolu vardır, örneğin iz mesafesi, sadakat, vb. Jamiołkowski izomorfizması kuantum kanalları ve kuantum durumları arasında bir dualite sağlar.

Bu en azından benim için ilginç, çünkü elmas normunun hesaplanması çok zor ve Jamiołkowski izomorfizmi, kuantum kanallarının mesafe ölçümleri ile kuantum durumları arasında bir korelasyon anlamına geliyor gibi görünüyor. Yani, sorum şu: Elmas normundaki mesafe ile ilişkili devletler arasındaki mesafe (bazı ölçülerde) arasında bilinen bir ilişki var mı?

quantum-computing it.information-theory quantum-information

— Joe Fitzsimons
kaynak

“Elmas normunun hesaplanması çok zor.” İle ne demek istediğinizden emin değilim. Eğer açık bir matris olarak kuantum kanalı verilirse (Choi-Jamiołkowski temsili, örneğin), elmas normunun karesi formüle edilebilir yarı yanlılık programı olarak; John Watrous'un ders notunun 20.4. bölümüne bakınız . Bu anlamda, elmas normunun hesaplamak için etkili bir aracı vardır.

— Tsuyoshi Ito

@Tsuyoshi: Sadece örtük optimizasyondan bahsediyordum. Hesaplamalı olarak zor demek istemedim, ama çalışmak zor.

— Joe Fitzsimons

Bunlar bir yana, çok güzel ders notları.

— Suresh Venkat

@Suresh @Tsuyoshi: Evet, harika notlar, ama bu soruyu cevapladıklarını sanmıyorum.

— Joe Fitzsimons

@TsuyoshiIto: Herhangi bir nedenle QIP slaytlarındaki son bölüm 20.3'tür, daha eksiksiz bir dersiniz var mı?

— Artem Oboturov

Yanıtlar:

Bir kuantum kanalı için, ilişkili durumu belirtmek üzere yazalım : $\Phi$ $J(\Phi)$ Burada, kanalınveistediğinizpozitif tamsayı seçimi için(yanikarmaşık matrisleri) ileile eşlediğini varsayıyoruz. matrisi

J (Φ) = \frac{1}{n} \sum_{1 \leq i, j \leq n} Φ (| i ⟩ ⟨ j |) \otimes | i ⟩ ⟨ j | .

$J(\Phi) = \frac{1}{n} \sum_{1\leq i,j \leq n} \Phi(|i \rangle \langle j|) \otimes |i \rangle \langle j|.$

M_{n} (C)

$M_n(\mathbb{C})$

n \times n

$n\times n$

M_{m} (C)

$M_m(\mathbb{C})$

n

$n$

m

$m$

J (Φ)

$J(\Phi)$ Bazen Choi matris ya da Choi-Jamiolkowski temsili olarak adlandırılan

, ancak bu terimler kullanılması daha sık olduğu zaman

Φ

$\Phi$

normalleştirme atlanır.

\frac{1}{n}

$\frac{1}{n}$

$\Phi_0$ $\Phi_1$

‖ Φ_{0} - Φ_{1} ‖_{◊} = sup_{ρ} ‖ (Φ_{0} \otimes {Id}_{k}) (ρ) - (Φ_{1} \otimes {Id}_{k}) (ρ) ‖_{1}

$\| \Phi_0 - \Phi_1 \|_{\Diamond} = \sup_{\rho} \: \| (\Phi_0 \otimes \operatorname{Id}_k)(\rho) - (\Phi_1 \otimes \operatorname{Id}_k)(\rho) \|_1$

{Id}_{k}

$\operatorname{Id}_k$

M_{k} (C)

$M_k(\mathbb{C})$

‖ \cdot ‖_{1}

$\| \cdot \|_1$

k \geq 1

$k \geq 1$

ρ

$\rho$

M_{n k} (C) = M_{n} (C) \otimes M_{k} (C)

$M_{nk}(\mathbb{C}) = M_n(\mathbb{C}) \otimes M_{k}(\mathbb{C})$

k \leq n

$k\leq n$

ρ

$\rho$

(Yukarıdaki tanımın rastgele eşlemeler için çalışmadığını, yalnızca tamamen pozitif haritalar ve için . Genel eşlemeler için, supremum izleme normu olan tüm matrisler üzerinden alınır 1, sadece yoğunluk matrislerinin aksine.) $\Phi = \Phi_0 - \Phi_1$ $\Phi_0$ $\Phi_1$

Kanallarda başka varsayımlarınız yoksa, bu normların şu kaba sınırların dışında nasıl bir ilişki olduğu hakkında çok fazla şey söyleyemezsiniz: İkinci eşitsizlik için, esasen belirli bir seçim için karar verilir yerine yerine supremum almak

\frac{1}{n} ‖ Φ_{0} - Φ_{1} ‖_{◊} \leq ‖ J (Φ_{0}) - J (Φ_{1}) ‖_{1} \leq ‖ Φ_{0} - Φ_{1} ‖_{◊} .

$\frac{1}{n} \| \Phi_0 - \Phi_1 \|_{\Diamond} \leq \| J(\Phi_0) - J(\Phi_1) \|_1 \leq \| \Phi_0 - \Phi_1 \|_{\Diamond}.$

ρ = \frac{1}{n} \sum_{1 \leq i, j \leq n} | i ⟩ ⟨ j | \otimes | i ⟩ ⟨ j |

$\rho = \frac{1}{n} \sum_{1\leq i,j \leq n} |i \rangle \langle j| \otimes |i \rangle \langle j|$

ρ

$\rho$ . İlk eşitsizlik daha sert bir tekliftir, ancak kuantum bilgileri üzerine bir lisansüstü ders için makul bir ödev sorusu olacaktır. (Bu noktada sorunuz için teşekkür etmeliyim, çünkü bu soruyu kuantum bilgi teorisi dersimin Güz sunumunda tamamen kullanmayı düşünüyorum.)

Kanalların mükemmel bir şekilde ayırt edilebilir olduğu varsayımı altında bile uygun bir seçim seçimi için ve eşitsizliğini sağlayabilirsiniz (yani ). $\Phi_0$ $\Phi_1$ $\| \Phi_0 - \Phi_1 \|_{\Diamond} = 2$

— John Watrous
kaynak

Teşekkürler John, bu sorumu mükemmel bir şekilde cevaplıyor ve bana çok zaman kazandırdı.

— Joe Fitzsimons

Ayrıca gerçek ve ideal kuantum süreçlerini karşılaştırmak için Mesafe ölçümlerini de incelemek isteyebilirsiniz : kuantum kanalları ve bunların ilişkileri için mesafe ölçümlerine genel bir bakış sunan quant-ph / 0408063 .

Bu terim kullanmak S mesafe elmas mesafesi ve için J mesafe kanalların bağlantılı Jamiołkowski operatörlerinin iz mesafesi için.

— Antonio Valerio Miceli-Barone
kaynak

Watrous'un olasılıklı kanal ışınlanması açısından yazdığı ilk eşitsizliği düşünmeyi seviyorum. Elmas normu ve kanallarını ayırt en küçük hata olasılığının bir ölçüsü olarak ve izleme normunu Jamiolkowski durumları için eşdeğer olarak yorumluyorsanız, kanallar için her zaman başarı olasılığı. Bunu titizlikle ifade etmek, eşitsizliği kanıtlamanın bir yolu olabilir. $\Phi_0$ $\Phi_1$ $\frac{1}n$

Ayrıca, bu düşünme şekli, kanalların deterministik olarak (Pauli kanalları gibi) ışınlanabiliyorsa, elmas normlarının Jamiolkowski izleme mesafesine eşit olduğunu gösterir.

— Alex Monras
kaynak