Kromatik sayının hesaplanmasında polinom zaman algoritmasına sahip grafik aileleri

31 Ağustos'ta güncellenen gönderi : Asıl sorunun altındaki mevcut yanıtların bir özetini ekledim. Tüm ilginç cevaplar için teşekkürler! Tabii ki, herkes herhangi bir yeni bulgu göndermeye devam edebilir.

Hangi grafik aileleri için kromatik sayı hesaplamak için bir polinom zaman algoritması vardır ?$\chi(G)$

Polinom zamanında sorun, (iki taraflı grafikler) olduğunda çözülebilir . Genelde , kromatik sayının hesaplanması NP zordur, ancak bunun olmadığı durumlarda birçok grafik ailesi vardır. Örneğin, boyama döngüleri ve mükemmel grafikler polinom zamanında yapılabilir.$\chi(G) = 2$$\chi(G) \ge 3$

Ayrıca, birçok grafik sınıfı için, karşılık gelen kromatik polinomu basitçe değerlendirebiliriz; Mathworld'deki bazı örnekler .

Sanırım yukarıdakilerin çoğu ortak bilgidir. Asgari grafik renginin polinom zamanında çözülebildiği başka (önemsiz) grafik aileleri olup olmadığını memnuniyetle öğrenirim.

Özellikle, kesin ve deterministik algoritmalarla ilgileniyorum ancak ilginç randomize algoritmaları veya yaklaşım algoritmalarını belirtmekte özgürüm.

Güncelleme (31 Ağustos):

İlginç cevaplar gönderdiğiniz için herkese teşekkürler. İşte cevapların ve referansların kısa bir özeti.

Mükemmel ve neredeyse mükemmel grafikler

• Geometrik Algoritmalar ve Kombinatoryal Optimizasyon (1988), Bölüm 9 (Grafiklerde kararlı kümeler). Martin Grotschel, Laszlo Lovasz, Alexander Schrijver.

  Kitabın 9. Bölümü, asgari ağırlıklı klik kaplama problemi ile renklendirme probleminin nasıl çözüleceğini gösterir. Elipsoid yöntemine dayandıklarından, bu algoritmalar pratikte çok kullanışlı olmayabilir. Ayrıca, bölüm farklı mükemmel grafik sınıfları için güzel bir referans listesine sahiptir.

• Kombinatoryal Optimizasyon (2003), Cilt B, Bölüm VI Alexander Schrijver.

  Bu kitabın mükemmel grafiklere ve polinom zaman renklendirmelerine ayrılmış üç bölümü vardır. Sadece hızlıca baktım ancak temel yaklaşım önceki kitaptakiyle aynı görünüyor.

• B-mükemmel grafiklerin karakterizasyonu (2010). Chinh T. Hoàng, Frederic Maffray, Meriem Mechebbek

Sınırlı ağaç genişliğine veya klik genişliğine sahip grafikler

• Sabit basma genişliğine sahip grafiklerdeki kenar baskın takımı ve boyamaları (2001). Daniel Kobler, Udi Rotics

  Buradaki algoritmalar, parametre olarak bir k-ifadesi (sınırlı bir klik genişliğine sahip bir grafik oluşturmak için cebirsel bir formül) gerektirir. Bazı grafikler için bu ifade doğrusal zamanda hesaplanabilir.

• Yaroslav, sınırlı ağaç genişliğindeki grafiklerde renklendirmeyi sayma yöntemlerine dikkat çekti. Aşağıdaki cevaba bakınız.

Bu iki çalışma, köşelerinin veya kenarlarının eklenebileceği veya silinebileceği aileleri çizer.$k$

• Köşe renklendirmenin parametreli karmaşıklığı (2003). Leizhen Cai.

  Renklendirme, bölünmüş grafiklerde kenarları (sabit ) eklerken veya silerken polinom zamanında çözülebilir .$k$$k$

• Akor grafilerinde parametreli renklendirme problemleri (2006). Dániel Marx.

  Sabit , kenarlarının eklendiği kordal grafikleri polinom zamanında renklendirilebilir.$k$$k$

Belirli alt yazıları içermeyen grafikler

• Polinom Zamanında P5-Ücretsiz Grafiklerin k-Colorabilitesine Karar Verme (2010). Chính T. Hoàng, Marcin Kamínski, Vadim Lozin, Joe Sawada, Xiao Shu.

• Polinom sürede AT-ücretsiz grafiklerin 3-renklendirilmesi (2010). Juraj Stacho.

Boyama çeyrekleri

• Kuadre boyama için algoritmalar (1999). David Eppstein, Marshall W. Bern, Brad Hutchings.

Gözlemlediğiniz gibi, tüm mükemmel grafikler polinom zaman içinde renkli olabilir, ancak ispatın doğrudan ve birleştirici bir şey yerine doğrusal programlama için elipsoid algoritmaları içerdiğini düşünüyorum (Grötschel, Lovász ve Schrijver kitabına bakınız). Mükemmel grafiklerin alt sınıfları ve daha kolay renklendirme algoritmaları olan birçok farklı grafik sınıfı vardır; Örneğin, kordal grafikler, mükemmel bir eleme sırası kullanarak açgözlülükle renklendirilebilir.

Yerel olarak bağlı tüm grafikler (her köşenin bağlı bir mahalleye sahip olduğu grafikler), bir renklendirme varken polinom zamanında 3 renkte olabilir: sadece renklendirme üçgenini üçgene kadar uzatın.

Polinom zamanında maksimum derece üçlü grafikler renklendirilebilir: iki taraflı olup olmadıklarını test etmek kolaydır ve o zaman olmasalar da sadece üç renk isterlerse veya bağlı bir bileşen olarak K4'e sahipler ve dört renk isterler (Brooks teoremi).

Üçgensiz düzlemsel grafikler polinom zamanında aynı sebepten dolayı renklendirilebilir: bunlar en fazla 3 kromatiktir (Grötzsch teoremi).

b mükemmel grafikler (mükemmel grafikler farklı olarak) 5-döngüleri neden izin ve Hoang, Maffray ve Mechebbek ile boyama için bir polinom zamanlı algoritması sahip olduğu gösterildi b- mükemmel grafikler bir karakterizasyonu , arXiv: 1004,5306 , 2010.

( ISGCI'daki harika grafik dersleri derlemesinin sadece cliquewthth, bağımsız küme ve tahakkümünü kapsaması üzücü. Renklendirme hakkında bilgi içermiyor.)

Ayrıca sınırlanmış klik genişliğine sahip grafikler için (treewidth'den daha genel olan): Kobler ve Rotics .

$n^{f(k)}$

Ayrıca, klik genişliğinin hesaplanması zordur, ancak Oum ve Seymour, "klik genişlik ve dal genişliğini önceden hesaplayan" (üstel yaklaşım) ile yaklaşık bir algoritma vardır.

$k$

Sınırlı ağaç genişliğine sahip herhangi bir grafik ailesi , kromatik sayının hesaplanması için bir polinom zaman algoritmasına sahip olacaktır. Gamarnik , aynı grafikte tanımlanan belirli Markov Rastgele Alanlarının hesaplama marjinallerine göre renk sayma problemini azaltır . Sonuç, sınırlı ağaç genişliği grafikleri üzerindeki MRF'lerin marjinallerinin, eklem ağacı algoritmasıyla polinom zamanında hesaplanabilmesinden kaynaklanmaktadır .

8/26 Güncellemesi : İşte "renklendirme sayısı" <-> marjinal azaltma örneği . Sınırlı ağaç genişlikli grafikler için polinom zaman içinde bulunabilen, birleşme ağacı algoritmasının maksimum artı sürümü ile uygun bir renklendirme ile başlamayı gerektirir. Şimdi düşünmek için ... kromatik sayılar için renklendirmelere gerçekten ihtiyacınız yok, sadece tek bir uygun renklendirme

$P_5$$C_5$$P_5$

$2P_3$

Daniel Marx'ın kromatik sayı probleminin karmaşıklığı ile ilgili en çok k köşe tepe silmeleriyle akor yapılabilen grafiklerde sonuçları da vardır; Her sabit k için bu problem polinomdur ( http://dx.doi.org/10.1016/j.tcs.2005.10.008 ).

Kuadtelerin renklendirilmesi için algoritmalar .
M. Bern, D. Eppstein ve B. Hutchings.
http: // arXiv: cs.CG/9907030 .
Algoritma 32 (1): 87-94, 2002.

Bir çeyreğin karelerinin renklendirilmesi probleminin birkaç farklı varyasyonunu düşünüyoruz, böylece iki bitişik kare aynı şekilde renklenmez. Kenar bitişiğindeki 3 renklendirilmiş dörtlü kenarlar, kenar bitişiğindeki 4 renklendirilmiş dört kenarlı kenar kenarları ve köşe bitişiğindeki 6 renklendirilmiş dengeli ve dengesiz dörtlükler için basit doğrusal zaman algoritmaları veriyoruz. İlk iki algoritma tarafından kullanılan renk sayısı en uygunudur; üçüncü algoritma için bazen 5 renk gerekebilir.