FPT problemlerinin sertliği

13

Köşe Kapağı kolayca Bağımsız Kümeye veya tam tersi şekilde azaltılabilir.

Ancak, parametreli karmaşıklık bağlamında, Bağımsız küme Vertex Cover'dan daha zordur. Bir çekirdek ile köşeler Vertex Kapak var, ancak Bağımsız Seti olduğu W 1 serttir. $2k$

Bağımsız Kümenin doğası FPT bağlamında nasıl değişir ve neden?

cc.complexity-theory parameterized-complexity fixed-parameter-tractable

— Nikhil
kaynak

9

Cevabın ana fikri: parametreli Bağımsız Kümenin bir örneğini parametreli Vertex Kapağına indirirsek, sonuçta verdiğimiz parametre grafiğin boyutuna bağlıdır ve sadece giriş parametresine bağlı değildir. Şimdi biraz daha ayrıntı için.

Bildiğiniz gibi, bir parametreli sorun girdi karar verir bir algoritma varsa (üniforma) FPT olduğu bulunan süresi içinde için bazı fonksiyonlar . $Q$ $(x,k)$ $Q$ $f(k) |x|^{O(1)}$ $f$

Bir grafik bir kenar seçerek ve tepe kapağına koymak için iki uç noktasından hangisini dallayarak boyutunda bir tepe kapağına sahip olup olmadığına karar verebildiğiniz için, bu dallanma sadece derinliğine gider (aksi takdirde köşe noktaları) ve kolayca zamanında çalışır ; bu nedenle -Vertex Kapağı FPT'dir. $G$ $k$ $k$ $k$ $O(2^k n^2)$ $k$

Şimdi varsayalım ki bu algoritmayı parametreli Bağımsız Kümenin FPT'de olduğunu göstermek istiyoruz; Biz bir grafik verilmiştir varsayalım üzerindeki köşeler ve boyut bağımsız bir grubu olup olmadığına karar vermek istiyorsanız . Bu, boyutunda bir tepe kapağına sahip olup olmadığını sormaya eşdeğerdir . Bu yüzden cevabı zamanında hesaplamak için yukarıdaki algoritmamızı kullanıyoruz . FPT algoritmamız için, çalışma süresindeki üstel fonksiyon, olan parametreye bağlı olabilir , ancak girişin boyutuna bağlı DEĞİL, $G$ $n$ $\ell$ $G$ $n - \ell$ $O(2^{n - \ell} n^2)$ $\ell$ $n$ ; ancak yaklaşımı içinde kullandığı saat üssünü kabataslak ve bu nedenle parametre ile ilgili FPT parametre değildir . Bu nedenle Vertex Cover'ın FPT'de olması, Bağımsız Kümenin FPT'de olduğu anlamına gelmez. $n - \ell$ $\ell$

— Bart Jansen
kaynak

Tüm cevaplar için teşekkürler. Parametreli karmaşıklık bağlamında, Vertex Cover'dan akıl yürütmek için Bağımsız setin sertliğini incelemeye çalıştığımda fikri anlıyorum. Ancak, Vertex kapsamından bağımsız olarak Bağımsız Kümeye bakan bir açıklama bulamadım? Bağımsız Kümeyi bulmanın yapısında (ya da doğasında) bir şey var mı?

— Nikhil

Bart, neden azaltmanın istendiği gibi çalıştığı

parametresi yok ?

k

$k$

— Raphael

@Raphael: Sorunuzu açıklığa kavuşturabilir misiniz? Sadece OP'ın sorusuna tarafından "izin" parametrelerinin ilgili çözüm boyutları bulunmaktadır. Rasgele parametrelere izin verirsek, azaltmanın istendiği gibi çalıştığı birçok şey vardır (Bu ifadeyi doğru bir şekilde anladıysam): Örneğin, parametreyi her iki sorun için de "minimum boyut köşe kapağının boyutu" olarak tutarsak , her ikisi de FPT'dir; Bart'ın argümanıyla MinVC ve aynı argümanla ve OP'nin indirgemesiyle MaxIndSet. Biz MaxIndSet en menü noktası olması konusunda ısrar zaman sadece onun sorunu W [1] -Zor haline gelmesi çözüm boyutu.

— gphilip

k

$k$

6

Sorunun 'doğası'nın, ne demek olursa olsun değiştiğini söylemem. Tüm bu değişiklikler parametredir, yani sorunun zorluk derecesini ölçme yönteminizdir.

$k$ $k$ $n-2k$ $2k$

$n-k$ $k$ $W[1]$

— Holger
kaynak

4

Aşağıdaki fark için bazı sezgi verebilir. S köşelerinin bir alt kümesi, yalnızca VS bağımsız bir kümeyse ve G = (V, E) bir tepe örtüsüdür, bu nedenle MVC minimum bir tepe örtüsünün boyutu ise MIS = | V | -MVC, maksimum bağımsız küme. X tarafından parametrelendirilen bir FPT algoritması, X'in bir fonksiyonu olarak üstel çalışma zamanına izin verir. Bir buçuk kenar kenarı olasılığı olan n köşelerde, yaklaşık 2log büyüklüğünde MIS ve n-2logn büyüklüğünde MVC büyüklüğünde rastgele bir grafik. Bu nedenle, en azından bu grafikler için, MVC tarafından parametrelendirilen bir FPT algoritması, MIS tarafından parametrelenen bir parametreden çok daha fazla zaman sağlar.

4

Başkalarının söylediklerini kabul etsem de, bunları düşünürken faydalı bulduğum başka bir yol da sorunu bir tanıma sorunu olarak yeniden oluşturmaktır, yani "Girdi grafiği, en fazla k noktası olan grafik ailesine ait mi?" / "Girdi grafiği bağımsız olarak en az k ayarlanmış grafik ailesine ait mi?"

$O(k^2+2^k\log n)$ $O(n^2)$ $k^2$

Bu yüzden benim için bu, küçük tepe örtüsünü tanımanın neden küçük bağımsız kümeden daha kolay olmasını umduğumun sezgisel bir açıklaması. Tabii ki, yukarıdaki düşüncelerin resmi bir argümana yakın olmadığı açıktır ve günün sonunda k boyutunun bağımsız kümesini tanımanın gerçekten daha zor olduğuna dair en ikna edici kanıtın tam olarak bağımsızlığın W-sertliği olduğunu tahmin ediyorum. Ayarlamak!

— Michael Lampis
kaynak

k^{2}

$k^2$

k

$k$

(\binom{k}{2}) + k \cdot (n - k - 1)

$\binom{k}{2} + k \cdot (n - k - 1)$

k

$k$

n

$n$

@Bart: Bağımsız bir köşeleri kümesi için , yalnızca bu köşeleri arasında kenar olmadığından ve (basit) bir alt en fazla kenar olduğundan emin olmanız gerekir. sipariş ve .

k

$k$ $k$

k \cdot (k - 1) \leq k^{2}

$k \cdot (k-1) \leq k^2$

k

$k$

— Mathieu Chapelle

3

Bu çok dolaylı bir cevaptır ve endişenizi tam olarak gidermeyebilir. Ancak FPT ve W hiyerarşisi yakınlık ile yakından bağlantılıdır (FPT problemleri genellikle PTAS'lara sahiptir). Bu bağlamda, herhangi bir grafik için VC = n - MIS ve dolayısıyla VC için bir yaklaşımın MIS için bir yaklaşım sağlamadığını unutmayın. Bu yüzden yaklaşık değerler için L azaltmalarına ihtiyacınız vardır. Parametreli karmaşıklık için de eşdeğer bir "çekirdek koruyucu azaltma" kavramı olduğundan şüpheleniyorum.

— Suresh Venkat
kaynak

FPT'de "çekirdek koruyucu azaltma" kavramı var mı?

— Nikhil

Bilmiyorum: bu yüzden tırnak :). Parametrelenmiş karmaşıklık uzmanlarının devreye girmesini bekliyorum.

— Suresh Venkat

2

Az önce çağırdın! ;)

— Raphael

4

Böyle bir kavram var: bir polinom zaman ve parametre dönüşümü. Parametrelenmiş problem P polinom zamanı ve parametresi , problem örneğini veren bir polinom zaman algoritması varsa, polinom zamanındaki çıktıları bir Q'ya (okuma: ) dönüştürür. eşdeğer örneği arasında , öyle ki . Çekirdekleştirme için kullanım aşağıdaki gibidir: Eğer , polinom çekirdeği varsa ve klasik ve versiyonları NP-tamamlanmışsa, de bir poli çekirdeği vardır. (

P \leq_{p t p} Q

$P \leq _{ptp} Q$

(x, k)

$(x,k)$

P

$P$

(x^{'}, k^{'})

$(x', k')$

Q

$Q$

k^{'} \in k^{O (1)}

$k' \in k^{O(1)}$

P \leq_{p t p} Q

$P \leq_{ptp} Q$

Q

$Q$

P

$P$

Q

$Q$

P

$P$ dx.doi.org/10.1007/978-3-642-04128-0_57 )

— Bart Jansen

Yaklaşıklık ve FPT arasındaki bazı ilişkileri belirten bir diğer makale [ dx.doi.org/10.1016/S0020-0190(97)00164-6], burada bir problem W ise [1] - sert bir PTAS kabul edemediğini gösterir burada objektif fonksiyon da parametredir. Etkili bir PTAS'ta zaman karmaşıklığı bulunurken, zaman karmaşıklığına izin verilmez. Aynı sonuç Bazgan'ın tezinde de var.

O (2^{1 / ϵ} n^{k})

$O(2^{1/\epsilon}n^k)$

O (n^{1 / ϵ})

$O(n^{1/\epsilon})$

— Gianluca Della Vedova