Polinom beklenen zaman çözümlerinde NP-komple problemler var mı?

24

Beklenen çalışma süresinin polinom olduğu bilinen bir algoritmanın bilinen bir NP-tamam problemi var mı (örnekler üzerinde hassas bir dağılım için)?

Olmazsa, böyle bir algoritmanın varlığının kurulduğu sorunlar var mı?

Yoksa böyle bir algoritmanın varlığı, deterministik bir polinom zaman algoritmasının varlığına mı işaret ediyor?

cc.complexity-theory np-hardness

— Steve Kroon
kaynak

6

Sorunun ne olduğunu tam olarak anlamadım. NP zorlu problemler için ortalama durum sonuçları mı arıyorsunuz yoksa en zor durumda NP zorlu problemleri beklenen polinom zamanında çözüp çözemeyeceğimizi mi soruyorsunuz?

— Moritz

2

"Beklenen çalışma süresi" ile ne demek istiyorsunuz? Girdilerin bazı rasgele dağıtımları (cevapların çoğunun düşündüğü gibi) veya algoritma tarafından kullanılan rastgele bitlerin dağıtımı (rastgele algoritmalar için olağan anlamlar) veya her ikisine de beklentiniz mi var?

— Jeffε

@Moritz: NP-zor problemler için ortalama durum sonuçları hakkında sorular soruyorum. Beklenmedik polinom zamanında NP-zor problemleri çözmek benim için daha da güçlü bir sonuç gibi görünüyor, bu yüzden bu tür sonuçlarla da ilgileniyorum. @JeffE Beklenen süreden söz ediyorum, örnekler üzerinde biraz dağılım. Algoritma randomize edilirse, rastgele bitler üzerinden de beklenti alınırdı. Ancak benim sorum öncelikle randomize algoritma ile ilgili değil.

— Steve Kroon

3

Basit bir doldurma tekniği, bunları herhangi bir sorundan oluşturmanın bir yolunu sunar.

nin çözülmesi için zaman gerektiren bir Tamamlayıcı dil olduğunu varsayalım . Sonra izin olmak Sonra şöyle çözülmektedir: birisi bir giriş dizgi bir çift sayı olup, bir doğrusal algoritma zaman kontrol olan . Değilse reddeder; Aksi takdirde çözer $L$ $NP$ $O(2^{n})$ $K$

K = {1^{n} x | ‖ x ‖ = n and x \in L}

$K=\{1^nx\ |\ \|x\|=n \text{ and }x\in L\}$

K

$K$

n

$n$

1^{n}

$1^n$

x \overset{?}{\in} L

$x\overset{?}{\in}L$ . Eğer

olduğu

rastgele homojen çekilir çözmek için beklenen zaman

y \in_{R} {0, 1}^{2 n}

$y\in_R \{0,1\}^{2n}$

y \overset{?}{\in} K

$y\overset{?}{\in}K$

\frac{1}{2^{2 n}} (2^{n} \cdot 2^{n} + (2^{2 n} - 2^{n}) O (n)) = 1 + (1 - \frac{1}{2^{n}}) O (n) \in O (n) .

$\frac{1}{2^{2n}}\big(2^n\cdot 2^n+(2^{2n}-2^n)O(n)\big) = 1+(1-\frac{1}{2^n})O(n)\in O(n).$

olduğu -Komple. den bir azalma: $K$ $NP$ $L$

x \in {0, 1}^{n} \mapsto 1^{n} x

$x\in \{0,1\}^n \mapsto 1^nx$

— Lieuwe Vinkhuijzen
kaynak

13

Hamiltonian döngülerinin var olma olasılığı ile asimptotik olarak başarılı olan Hamiltonian çevrimlerini rastgele grafiklerde bulmak için polinom zaman algoritması vardır. Tabii ki, bu sorun en kötü durumda NP-zor.

Ayrıca, eğer girdi dağılımı tüm küme üzerinde eşit olarak rastgele ise, eğer varsa bir Hamiltonian döngüsünü bulmak için daima garanti edilen dinamik bir programlama algoritmasının polinom beklenen çalışma süresine sahip olduğunu gösterirler. vertex grafikleri. $n$

Referans: "Rasgele grafiklerde Hamilton çevrimlerini bulmak için bir algoritma"

Bollobas, Fenner, Friz

http://portal.acm.org/citation.cfm?id=22145.22193

— Aaron Roth
kaynak

10

İyi bir ortalama vaka algoritmasının varlığının iyi bir kötü vaka algoritmasının varlığına yol açıp açmadığına dair son sorunuzla ilgili olarak: Bu, özellikle kriptografların ilgisini çeken önemli bir açık sorudur. Kriptografi ortalama olarak zor olan problemleri gerektirir, ancak kriptograflar yapılarını mümkün olan en düşük varsayımlara dayandırmak ister, bu nedenle ortalama sertliğin en kötü sertliğe eşit derecede eşit olduğu problemleri bulmak büyük ilgi görür.

Bazı kafes problemlerinin ortalama-durum-azalması gibi en kötü durumlara sahip olduğu bilinmektedir. Örneğin, Ajtai tarafından kafes sorunları için sert örnekler oluşturma ve Micciancio tarafından hazırlanan bir anket makalesine bakın.

— Ian
kaynak

9

$n$ $n$

Referans:

Alexander D. Scott ve Gregory B. Sorkin. Max Cut ve Max 2-CSP'nin seyrek rastgele örneklerini doğrusal beklenen sürede çözme. Tarak. Probab. Comput, 15 (1-2):. 281-315, 2006. Basım

— Serge Gaspers
kaynak

2

Θ (n)

$\Theta(n)$

G (n, c / n)

$G(n,c/n)$

@Bart: Soruyu yanlış anlamış olabilirim. Doğrusal sayıda cümle içeren Max 2-CSP'nin NP zor olduğunu, ancak rastgele durumlar için bu problemi çözen beklenen doğrusal zamana sahip bir algoritma olduğunu iddia ediyorum.

— Serge Gaspers

Temel olarak, argümanınızı doğru anlarsam, temel grafiklerin üzerinde G (n, c / n) dağılımına sahip Max 2-CSP'nin beklenen lineer sürede çözülebileceğini söylüyorsunuz. Dağıtımın bana tamamen "mantıklı" veya "doğal" görünmediğinden Bart ile aynı fikirdeyim, ancak soruma yeterince cevap verdiğini düşünüyorum.

— Steve Kroon

@ Steve: Katılıyorum.

— Serge Gaspers

7

Bu, sorunuzu tam olarak cevaplamıyor, ancak 3-SAT’ın rastgele örnekleri hakkındaki sonuçları araştırmak için şunu görebilirsiniz: www.math.cmu.edu/~adf/research/rand-sat-algs.pdf

Genellikle “mantıklı dağılımın” gerçekten ne anlama geldiğini tanımlamak zordur. Bogdanov ve Trevisan'ın "Ortalama-zaman karmaşıklığı" anketinde bunun hakkında daha fazla okumak için bu linki takip edebilirsiniz: http://arxiv.org/abs/cs/0606037 .

— Grigory Yaroslavtsev
kaynak

Bağlantılar için teşekkürler. Maalesef, 3-SAT makalesinin "yüksek olasılıklı" sonuçları, (onaylayabildiğim kadarıyla) sorgumu onaylayacak kadar güçlü değil. "Mantıklı dağıtım" tüylü olabilir katılıyorum. Dağıtım besbelli seçilmediği takdirde "etkili örneği alanı" sadece P. olduğu bilinen birine sorunu azaltmak kalmaması bu, ben bunu tercih ediyorum

— Steve Kroon

5

Amin Coja-Oghlan ve Anüs Taraz'ın "Beklenen Polinom Zamanındaki Rastgele Grafikleri Renklendirme"

$G \in G(n, p)$ $p < 1.01/n$ $O(√np)$

http://www.springerlink.com/content/87c17d4dacbrc0ma/

— Joel Rybicki
kaynak