Sadece spektral grafik teorisi ile elde edilen kanıtlar

28

Büyüleyici bulduğum spektral grafik teorisine artan bir ilgi duyuyorum ve şu ana kadar sahip olduğumdan daha iyi okumak için sahip olduğum birkaç belgeyi toplamaya başladım.

Ancak, ben (örneğin çeşitli kaynaklardan de geçiyor o açıklamada merak ediyorum Oradaki grafik teoride bazı sonuçlar yalnızca spektrum tabanlı teknikler kullanılarak kanıtladı ve o ana kadar hiçbir kanıt olduğunu edildiğini özünde diyor), bu teknikleri atlar bilinmektedir.

Bunu atlamadığım sürece, şu ana kadar okuduğum literatürde böyle bir örnek gördüğümü hatırlamıyorum. Herhangi biriniz bu tür sonuçların örneklerini biliyor mu?

— Anthony Labarre
kaynak

Sorunun başlığı yalnızca spektral grafik teorisi kullanılarak elde edilebilecek kanıtları istediğinizi, ancak şimdiye kadar yalnızca spektral grafik teorisi ile elde edilen kanıtları istediğinizi gösteriyor. Bunlar iki farklı soru. Demek ki, başlık yanıltıcı, bu yüzden değiştirdim.

— Dave Clarke

@Dave geri alma yaptım

— Suresh Venkat

5

Cvetković, Doob ve Sachs tarafından verilen Grafik Spektrumunun 7. Bölümü , ifadeleri açıkça spektrumdan söz etmeyen ancak spektral teknikler kullanılarak ispatlanabilen teoremlerin birçok örneğini vermektedir. Benim tahminim, bunların çoğunun spektral olmayan bir kanıtı olmadığı, ancak bunu durum bazında doğrulamak zorunda kalacaksınız. Kesinlikle birçok durumda en basit veya en doğal ispat spektrumları kullanır.

— Timothy Chow

@Timothy Chow: Teşekkürler, ellerimi almaya çalışacağım.

— Anthony Labarre

@TimothyChow: Bunu bir cevap haline getirmelisin, sanırım.

— Suresh Venkat

12

Hoffman-Singleton teoremi .

— Colin McQuillan
kaynak

Hoffman-Singleton da benim ilk düşüncemdi. Ancak, spektral olmayan kanıtların var olup olmadığını ve eğer zor olduklarından veya hiç kimsenin denemediği için yapamıyorlarsa, bilmiyorum. Standart kanıt oldukça temiz ve özlüdür, bu yüzden spektral olmayan bir kanıt elde etmek için motivasyonun ne olacağını kesin olarak bilmiyorum.

— mhum

9

Kuantum hesaplamada bu sonuç nasıl olur?

Mario Szegedy. Markov Zinciri Bazlı Algoritmaların Kuantum Hızı. FOCS'04’te.

Markov zincirlerini kuantum Markov zincirlerine uzatır ve kuantum vuruş zamanının klasik vuruş zamanının karekökü ile üst sınırlandırıldığını gösterir. Bunu klasik Markov zincirinin tekil vektörlerini kuantum Markov zincirinin tekil vektörleriyle ilişkilendirerek yapar. Bu makaleden önce rastgele ve kuantum yürüyüşleri arasında bilinen bir ilişki yoktu. Spektral olmayan teknikleri kullanarak aynı şeyi nasıl hayal edemiyorum.

— Marcos Villagra
kaynak

8

Bence, arkadaşlık teoreminin (ayrıca Huneke'nin makalesine bakınız ), kesin olarak konuşsak bile, özdeğerlerden kaçınan dostluk teoreminin kanıtları mevcut olsa da iyi bir örnek olduğunu düşünüyorum. Özdeğerleri tamamen önleyen ispatlar, spektral ispattan çok daha karışıktır.

(Dostluk teoremi, eğer bir insan odasında her bir çiftin aynı ortak bir arkadaşı varsa, o zaman herkesi tanıyan biri olduğunu söyler.)

— Timothy Chow
kaynak

8

$L_G$ $G = (V,E,w)$ $G$ $H$ $x \in R^V$

x^{T} L_{H} x (1 - ϵ) \leq x^{T} L_{G} x \leq x^{T} L_{H} x (1 + ϵ) .

$x^T L_H x (1-\epsilon) \le x^T L_G x \le x^T L_H x (1+\epsilon).$

O (n / ϵ^{2})

$O(n/\epsilon^2)$

Teorem ifadesi tartışmalı bir şekilde "doğası gereği spektral" olmasa da, bu sonucu veya bunun gibi bir sonucu spektral teknikler kullanmadan nasıl elde edebileceğini bilmiyorum.

— Lev Reyzin
kaynak

Bu ifadenin doğası gereği spektral olmadığı gibi biraz tartışmalı. Kelimenin tam anlamıyla, haklısın, ama ikinci dereceden formun neden ortaya çıktığını düşünebildiğim tek mantık spektral.

— Suresh Venkat

1

F (A) = {x^{T} A x : | | x | |_{2} = 1}

$F(A) = \{x^TAx: ||x||_2 = 1\}$

O (n / ϵ^{2})

$O(n/\epsilon^2)$

Tabii ki - ancak bu sparifleştiricileri başka bir şekilde elde etmeyi hayal edebilirsiniz. Ama, evet, bu en iyi örnek olmayabilir ...

— Lev Reyzin