Bağımsız setin LP gevşemesi

13

Ben maksimum bağımsız set aşağıdaki LP gevşeme denedim

max \sum_{i} x_{i}

$\max \sum_i x_i$

s.t. x_{i} + x_{j} \leq 1 \forall (i, j) \in E

$\text{s.t.}\ x_i+x_j\le 1\ \forall (i,j)\in E$

x_{i} \geq 0

$x_i\ge 0$

Ben olsun $1/2$ denedim her kübik olmayan ikili grafik için her bir değişken için.

Bağlı tüm kübik iki taraflı olmayan grafikler için doğru mu?
Bu grafikler için daha iyi çalışan LP gevşemesi var mı?

Güncelleme 03/05 :

İşte Nathan tarafından önerilen klişe tabanlı LP gevşemesinin sonucu

Burada deneyleri özetledim. İlginçtir ki, en basit LP gevşemesinin ayrılmaz olduğu oldukça az iki taraflı olmayan grafikler var.

graph-theory co.combinatorics linear-programming

— Yaroslav Bulatov
kaynak

çözümü kesinlikle benzersiz değildir. Bir kübik ikili Grafikte, optimal bir çözüm olabilir bir parça ve diğer bölümünde.

x_{i} = 1 / 2

$x_i = 1/2$

x_{i} = 1

$x_i = 1$

x_{i} = 0

$x_i = 0$

— Jukka Suomela

1

Üzgünüm, önemli kısmı kaçırdım, sadece iki taraflı olmayan kübik grafikleri düşünüyorum. Denediğim her iki taraflı kübik grafiğin ayrılmaz bir çözümü vardı

— Yaroslav Bulatov

Benzersiz olmayan çözümlerden kaçınmak istiyorsanız "bağlı" da eklemeniz gerekir.

— Jukka Suomela

2

(1) Olumsuzluk kısıtlamalarını yazmayı unuttunuz. (2) İki taraflı grafikler için, bu LP gevşemesinin optimal değeri her zaman bağımsız bir kümenin maksimum boyutuna eşittir. Bu, König teoreminin derhal bir sonucudur .

— Tsuyoshi Ito

2

@Yaroslav: Bir yan soru: Bu grafikleri nasıl çiziyorsunuz?

— Tim

16

İki taraflı bağlı olmayan kübik grafiklerin benzersiz optimal çözümü ; iki taraflı bir kübik grafikte, entegre bir optimal çözümünüz var. $x_i = 1/2$

İspat: Kübik bir grafikte, tüm kısıtlamalarını , ve dolayısıyla optimum en fazla . $3n/2$ $x_i + x_j \le 1$ $\sum_i 3 x_i \le 3n/2$ $n/2$

Tüm için çözeltisi ve bu nedenle de optimaldir. $x_i = 1/2$ $i$

İki taraflı bir kübik grafikte, her bölüm düğümlerin yarısına sahiptir ve bir bölümdeki çözeltisi de bu nedenle optimaldir. $x_i = 1$

Herhangi bir optimum çözüm sıkı olmalıdır, yani her bir kenar için ve dolayısıyla . Bu nedenle, tek bir varsa , döngüdeki her düğüm için seçmelisiniz . Ve sonra grafik bağlıysa, bu seçim her yerde yayılır. $\sum_i 3 x_i = 3n/2$ $x_i + x_j = 1$ $\{i,j\}$ $x_i = 1/2$

— Jukka Suomela
kaynak

2

Soru üzerine bir yorumda yazdığım gibi, sadece entegre bir optimal çözümün varlığını kanıtlamak için iki taraflılığa ihtiyacınız var (ancak bu, sizinkinden farklı bir kanıt gerektiriyor).

— Tsuyoshi Ito

@Tsuyoshi: Evet, König'in teoreminin akılda tutulması iyidir. Örneğin, yukarıdaki gözlemle birlikte, herhangi bir bipartit kübik grafiğin 1 faktörlü hale getirildiğini gösterecektir (yani, üç mükemmel eşleşmeye bölünebilir). Tabii ki bu sonucu kanıtlamanın "yanlış" yolu, ancak bence König teoreminin gücünü güzel bir şekilde gösteriyor - König'in teoremini hatırlarsanız, grafik teorisinde kolayca yeniden icat edebileceğiniz birçok klasik sonuç var. .

— Jukka Suomela

12

Bu LP tüm grafikler için yarı integraldir, yani her bir değişken {0,1 / 2,1} olacak şekilde optimal bir çözüm mevcuttur. Sadece Nemhauser ve Trotter teoreminden sonra gelir. Tabii ki, tamamlayıcı problemin LP'si için yarı bütünlüğün aynı sonucu gelir (köşe örtüsü). Grafik iki taraflı olduğunda, çözüm yekparedir. Bunu sadece maksimum akışlı min-kesme teoreminden veya bu LP'nin uç nokta çözümleriyle çalışarak izler. Ayrıca, 1/2 kenarlar garip bir döngü oluşturur.

Tabii ki, bu LP IS problemini çözmek için iyi değildir. Clique kısıtlamaları veya SDP'ler eklemek çok daha iyi bir yaklaşımdır.

Köşe salmastraları: yapısal özellikleri ve algoritmaları GL Nemhauser ve Trotter- Math. Program., 1975

— Mohit Singh
kaynak

Doğru, yarı integral bir çözümü etkili bir şekilde bulan çok basit bir algoritma için bu makalenin Teorem 5.6'sına bakınız .

— Jukka Suomela

Clique kısıtlı LP, yukarıdaki setten yaklaşık% 50 daha fazla grafik çözdü .... SDP formülasyonunu nerede bulabilirim?

— Yaroslav Bulatov

7

Sergiy Butenko'nun 2003'teki doktora tezi , MIS'in diğer LP gevşemelerinin yanı sıra kuadratik gevşemeleri de gözden geçiriyor.

— Suresh Venkat
kaynak

6

"Maksimum bağımsız kümenin rahat bir versiyonunu" elde etmenin başka bir yolu daha vardır. "Her kenar için sınır olarak" olmak yerine, toplam en fazla 1 "dir, kısıtlamalar" her tam alt paragraf için kenar en fazla 1'dir ". Bu şu anlama gelir: her kenar için, her üçgen için, her için vb. $K_4$

Buna kesirli bağımsız set numarası denir. Burada bazı bilgiler bulacaksınız: http://en.wikipedia.org/wiki/Fractional_coloring veya Daniel Ullman ve Edward Scheinerman'ın ( http://www.ams.jhu.edu/~ers) "Kesirli grafik teorisi" kitabında / fgt / ).

Pratik olarak, tüm değişkenler sürekli olmasına rağmen bu formülasyonu hesaplamak NP-Zordur -> uç sayısı üsteldir ve hesaplaması zordur .... Ama sadece bazı özel uçları sıralamakta özgürsünüz, örneğin sadece kenarlar (az önce yaptığınız) veya kenarlar + üçgenler veya kadar olan tüm . Sonuçta, değer sadece gerçek tamsayı değerinin "daha fazla temsili" olabilir (*) :-) $K_k$

Nathann

(*) bu söyleniyor, teorik olarak tüm kliklerin temsil edildiği LP'deki optimal sonuç ile optimum bağımsız set arasında keyfi olarak büyük bir fark var.

— Nathann Cohen
kaynak

1

Bu yaklaşımla ilgili sorunlardan biri, iki taraflı olmayan kübik üçgen içermeyen bir grafiğiniz varsa (ve bunlardan bol miktarda varsa), formülasyonun sorudakiyle tam olarak eşit olması ve tam olarak aynı kötü haber. Daha genel anlamda, her zaman tüm düğümler de olduğu grafikler oluşturmak düşünüyorum -clique ve orada hiçbir -clique ve olduğunu göstermektedir tüm benzersiz uygun çözümdür LP.

k

$k$

(k + 1)

$(k+1)$

x_{i} = 1 / k

$x_i = 1/k$

i

$i$

— Jukka Suomela

ilginç, bu chordal grafiklerde IndependentSet kolaylığı ile ilgili gibi görünüyor

— Yaroslav Bulatov

Bazı deneyler yaptım ve bu LP gevşemesinin çözümü korda grafiklerinde her zaman ayrılmazdı

— Yaroslav Bulatov

1

@YaroslavBulatov Gözleminizin bir nedeni var. Klik eşitsizlikleri ve negatif olmayan sınırlar, sadece grafik mükemmelse ve sadece bağımsız kümelerin dışbükey gövdesini sağlar. Chordal grafikler mükemmel.

— Austin Buchanan