DTIME hiyerarşi teoreminde log f'nin gerekçesi

DTIME hiyerarşi teoremine bakarsak, deterministik bir Turing Makinesi'nin evrensel bir makine tarafından simülasyonunda genel gider nedeniyle bir kayıt tutarız:

$DTIME(\frac{f}{\log f}) \subsetneq DTIME(f)$

NTIME DSPACE için bu tür bir ek yükümüz yok. Temel bir gerekçe, simülatörler arasındaki farkı göz önünde bulundurarak ispatın detaylarından gelir.

Sorum şu: DTIME hiyerarşisi teoreminin ispatının ayrıntılarını göz önünde bulundurmadan, bu günlüğün bir gerekçesi var mı, yoksa ispatın bir sonucu olabilir ve $f = o(g)$ sonra

$DTIME(f) \subsetneq DTIME(g)$

Bence simülasyon açıklamasının iyi bir gerekçe olduğu düşünüldüğünde, daha iyi bir sonuç elde edersek, o zaman daha iyi bir simülasyon yaratabileceğimizi kanıtlayarak haklı gösterilmelidir.

cc.complexity-theory universal-computation time-hierarchy

— Ludovic Patey
kaynak

Son paragrafta yazdıklarının tam tersinden daha düşük olduğunu düşünüyorum. Yani, şu anda daha güçlü bir ifadenin simülasyondan başka bir yöntemle kanıtlanma olasılığını ekarte edebileceğimizi sanmıyorum. Öte yandan, daha güçlü bir ifadenin başarısız olduğu göreceli bir dünya inşa ederek simülasyonla daha güçlü bir ifadenin kanıtlanma olasılığını ekarte edebiliriz .

— Tsuyoshi Ito

Anladığım kadarıyla deterministik zaman hiyerarşisi teoreminde simülasyonunun genel giderlere indirgenmesi çığır açan bir sonuç olacaktır. Birincisi, birkaç sonuç hemen güçlendirilebilir.

Ω (\log n)

$\Omega(\log n)$

— András Salamon

Bu biraz sersemleticidir, ancak f ve g ile ilgili daha fazla kısıtlama yoksa (standart olan f ve g zamana göre oluşturulabilir), f ve g f = o (g) ve DTIME (f) olacak şekilde = DTime (g) verdi. Bunu görmek için, x ^ i, i real, 0 <i <= 1 olan tüm işlevlerin sayılamayan kümesini göz önünde bulundurun. Zaman Hiyerarşisi Teoremi bu tür işlevlerin tüm çiftleri için geçerliyse, sayılamayan bir dizi elde edersiniz. dilleri, tüm Turing makineleri tarafından kesilebilir. Bu, Turing makineleri setinin sayılabilir olduğu gerçeğiyle çelişmektedir.

— Abel Molina

@abel elbette f ve g'nin, zaman-zaman hiyerarşisi teoremindeki gibi zamanla-yapılabildiğini varsayıyorum.

— Ludovic Patey

evet mevcut kanıtı inceleyen bir gerekçe var, ancak bu soruna / sorunun tam bir cevabı gerekli olduğunu ve sadece yeterli olmadığını kanıtlayacaktır. yani yukarıdaki AS yorumlarında olduğu gibi, daha sıkı bir bağ açık bir sorundur. hopcroft / ullman 1976'da log (n) faktörünün bir çoklu-tip TM'yi 2-kasetli bir TM'ye indirgemesinden kaynaklandığını ve aynı zamanda bu indirgeme ile ilgili kanıtı bulunduğunu belirtirler. (ancak bu soru ile birlikte, her zaman hiyerarşi thm'lerinin çoklu-bant TM'lere izin veren tek bantlı bantlara dayanan karmaşıklık teorisi için nasıl farklı görüneceğini merak etmişimdir.)

— vzn

Yanıtlar:

Zaman hiyerarşisi teoremi, diploma projemin konusudur, belki de Alt sınırlar ve sınıf ayrımı sorumu hakkındaki yorumları görüntülemek istersiniz .

Bu soruya ve ne sorduğumuza baktığınıza baktığımda, teoremin ispatı için gerekli olan tek bantlı TM simülasyonu ek yükünün çoklu şeklinin geliştirilemeyeceğini gösterebilecek bir fikrim var. Bu nedenle, bu sonucu iyileştirmek istiyorsak başka bir yaklaşıma ihtiyaç vardır.

EDIT: Bu kanıt yanlıştır, kesin nedeni için aşağıdaki yorumlara bakınız. Şu anda bunu yansıtmak için cevabı düzenliyorum.

Let dili . $A$ $\{ 0^{k}1^{k}| k \geq 0 \}$

Tek bir bant makinesinde bir algoritması vardır (bu algoritmanın ayrıntılarını Sipser'in "Hesaplama Teorisine Giriş" kitabının 7.1.2 bölümünde bulabilirsiniz. Aynı referansta, şunu görebilirsiniz: bir dil sadece (eğer normal ise) (n \ log n) ' dedir . Kaveh ayrıca yukarıda belirtilen soruda bu iddia için orijinal belgeler sunar. $O(n \log n)$

Sorumun yorumlarında Ryan Williams , 2 bantlı bir TM kullanarak aynı sorun için bir algoritması göstermektedir . $O(n)$

Şimdi, bir multitape TM'yi tek bir bant halinde TM taklit etmek için bir teknik olduğunu varsayalım, bu çalışma süresi , burada TM'nin simüle edilmiş çalışma süresidir. Ryan'ın gösterdiği makineye uygulayarak, de çalışacak olan tek bir bant TM alırdık . Bu nedenle, düzenlidir, bu bir çelişkidir. Böylece, bir ek yükü olduğu sonucuna varıyoruz. $o( T(n) \log T(n) )$ $T(n)$ $o( n \log n)$ $A$ $\log T(n)$ Tekli bant makineli çoklu bant makinelerini simüle ederken yapabileceğimiz en iyisidir.

Bunun güçlü bir ifade olduğunu anladım, bu yüzden yorumumda yanlış olabilirim.

Bu sonucu iyileştirmeye izin veren bir teknik mevcut olsa bile, sonucun ya da ile eşleştirilmesinin mümkün olmadığına inanıyorum . Sezgim şu gerçeğe dayanıyor: $NTIME$ $SPACE$

Bir vardır , çok bilinen bir sonucu belirtir . varsayımı altında, bu sonucun herhangi bir için olarak geliştiğine inanıyorum. $DTIME(n) \neq NTIME(n)$ $P \neq NP$ $DTIME(n^{k}) \neq NTIME(n)$ $k$ Yani, çok küçük bir determinist olmayan sınıf, herhangi bir deterministten çok daha güçlüdür. Bu nedenle, deterministik olmayan bir zamanın ne kadar güçlü olduğu göz önüne alındığında, bir TM'yi determinizm dışı gücün telafi etmesi için daha güçlü hale getirmek için daha fazla sayıda deterministik zamanın gerekli olacağını bekliyorum.

— chazisop
kaynak

Tek bantlı bir makinede çok bantlı bir Turing makinesini taklit etmek kuadratik zaman alır. Palindromların dili bunun gerekli olduğunu gösterir: palindromlar iki bantlı makinelerde

zamanda tanınabilir , ancak tek bantlı makinelerde

zaman alır

O (n)

$O(n)$

Ω (n^{2})

$\Omega(n^2)$

— Luca Trevisan

Luca elbette haklı (ifadenin gücünden dolayı bir hata bekleniyor). Hatam: Standart tek bantlı TM'yi tek çalışma bandıyla (farklı yazma olmayan giriş bandı ve belki de ayrı bir çıkış bandı ile) aceleyle karıştırdım. I hata fark zaman, olmadığını görmek için çalışılmıştır

düzenlilik bu modele taşır, ama

doğru değildir göstermektedir ki. Cevabı bu gerçeği yansıtacak şekilde düzenliyorum, umarım @Monoid, sezgi bölümü için kabul etmiştir.

o (n \log n)

$o(n \log n)$

P A L I N D R O M E S

$PALINDROMES$

— chazisop

Luca'nın bahsettiği örnek, zamanın

olduğu bir durum içindir . Bu özel durum, bu tür küçük sınıflardaki tek-bantlı makinelerin sağlam olmayan davranışlarından dolayı genel olarak rahatsız edicidir. Yani zaman

ise bu bir engel değildir . İlginçtir ki,

için hiyerarşi teoreminin güçlü versiyonunun kanıtı simülasyonu kullanmaz, doğrudan bir argüman kullanır (bkz. Hartmanis 1968).

o (n^{2})

$o(n^2)$

Ω (n^{2})

$\Omega(n^2)$

o (n^{2})

$o(n^2)$

— Kaveh

Uzay hiyerarşiye benzer n-teyp TM'ler sıkı bir zaman hiyerarşi sonuç için teoremi 1982 yılında Furer tarafından kanıtlanmış faktörü gerekli değildir. $\lg$

Yayınınızdaki belirtilen zaman hiyerarşi teoremi için faktör tek bant TM'ler içindir. Tek bant modeline bir sebepten dolayı çok bağlı olmadığınız sürece, hiyerarşi teoremleriyle ilgili zaman ve mekan arasında bir fark yoktur. $\lg$

Zaman karmaşıklığı sınıflarını tanımlamak için tek bantlı TM'leri kullanmak için bazı nedenler ve argümanlar vardır, ancak karmaşıklık sınıflarını tanımlamak için tek bantlı TM'lerin kullanımı evrensel değildir, örneğin bkz. Lance Fortnow ve Rahul Santhanam'ın [2007] çoklu bant kullandıkları yer TM'lere.

Zaman hiyerarşisi teoremi için orijinal referans Hennie ve Stearns'dir [1966]. İki bantlı makineler için teoremi ispatladılar. Odifreddi'nin Klasik Özyineleme Teorisi onları ve Hartmanis [1968] 'e atıfta bulunur ve Sipser'in kitabındakine benzeyen bir kanıtı açıklar.

Ancak Hartmanis'in gazetesinde bulunan tekli bant TM'lerin ispatı basitçe simülasyon kullanmaz. İki durum arasında ayrım yapılmıştır: 1. çalışma zamanı ve 2. çalışma zamanı . $\Omega(n^2)$ $o(n^2)$

İlk durumda, bir simülasyon kullanıyor ve eğer simülasyonlar daha verimli bir şekilde yapılabiliyorsa , faktöründen kurtulabileceği görülüyor . $\lg$
İkinci durumda, kağıt doğrudan ayırma için bir dil vermektedir ve hiç simülasyon kullanmamaktadır. Bu, ikinci dereceden çalışma süresine sahip tek bantlı TM'lerin belirli özelliklerini kullanır.

Kişi, zamanına sahip tek bantlı TM'lerin kadar sağlam olmadığını ve tek bantlı TM'lerde ikinci dereceden alt sınırların (örneğin Palindrom'lar için) bulunduğunu, iki bantlı bir TM'nin bu tür sorunları doğrusal zamanda çözebileceğini not etmelidir. $o(n^2)$

Yukarıda söylediğim gibi, bir nedenden dolayı tek bantlı TM modelini taahhüt etmediğiniz sürece, zaman ikinci dereceden olsa bile, doldurulması gereken bir boşluk yoktur, zaman hiyerarşisi teoremi mümkün olduğu kadar sıkıdır.

Not: Çok bantlı TM kullanıyorsak, yani sınıftaki bir Turing makinesi sabit olabilir ancak isteğe bağlı bant sayısı Fürer'in sonucu için geçerli değildir.

Martin Fürer, " Sıkı Deterministik Zaman Hiyerarşisi ", 1982
Piergiorgio Odifreddi, "Klasik Özyineleme Teorisi", cilt. II, 1999 (sayfa 84)
Juris Hartmanis, " Tek Bantlı Turing Makinesi Hesaplamalarının Hesaplamalı Karmaşıklığı ", 1968
FC Hennie ve RE, "Çok Bantlı Turing Makinalarının İki Bantlı Simülasyonu ", Stirns , 1966
Lance Fortnow ve Rahul Santhanam'ın " Zaman Hiyerarşileri: Bir Araştırma " makalesi , 2007

— Kaveh
kaynak

Fürer'in sonucu, sadece incelenen Turing makinelerinin bant sayısı sabit olduğunda, yani, sınıfların

bant sayısı olduğu durumlarda geçerli değildir.

D T I M E_{k} (f)

$DTIME_k(f)$

k

$k$

— Markus Bläser

@Markus, evet, bu doğru, tek bantlı kasaya benzer. Tek fark, bant sayısının birden fazla olması, ancak yine de sabit, örneğin 2 bant olmasıdır.

— Kaveh

Krzysztof Loryś, "Ayrıca bkz deterministik TM'ler için Yeni saat hiyerarşi sonuçları ", 1992 Başka referans Kazuo İwama, Chuzo Iwamoto ise, " tek-bant off-line TM'lerin Geliştirilmiş zaman ve mekan hiyerarşileri için günlük faktörünü artırır", 1998, tek bantlı TM'ler için günlük kaydı.

— Kaveh

Birden fazla sayıda sabit sayıda bant için, zamana göre oluşturulabilir için ) . Logaritmik ek yük, herhangi bir sayıda bantın iki bant haline dönüştürülebildiği (veya sadece tek bir bant ve bir istif ve sadece kayıtsız hareketlerle) bant azaltma teoreminden gelir. $\mathrm{Time}(o(f)) ⊊ \mathrm{Time}(O(f)$ $f$

Bantların sayısı sabit değildir, gerçekten yapıcı kanıtlamak için bir teknik yoktur bant indirgeme teoremi söz konusu değildir. Her , bant makinelerinin logaritmik bir ek yük olmadan bant makinelerinde simüle edilememesi olasıdır. $\mathrm{DTime}(g) ⊊ \mathrm{DTime}(f)$ $k$ $k+1$ $k$

Bununla birlikte, o teoremi geliştirilemeyen zaman hiyerarşi anlamına gelmez veya başarısız olur. $\mathrm{DTime}(o(f)) ⊊ \mathrm{DTime}(O(f))$

Aslında, biz zaten aşağıdakilere sahibiz.

Teoremi: Her için ve her formunun ( ve rasyonel, ya da ), $ε>0$ $f$ $n^a (\log n)^b$ $a$ $b$ $a>1$ $a=1∧b≥0$ . $\mathrm{DTime}(O(f /(\log f)^ε) ⊊ \mathrm{DTime}(O(f))$

İspat: Eğer karar algoritmasına sahip her dilin zamanına karar verilebiliyorsa , o zaman girişi doldururken, ile her dil karar algoritmasına ile karar verilebilir. $O(f)$ $O(f / (\log f)^ε)$ $O(f(n) (\log f(n))^{kε})$ süresi ( sabitlenmiştir), ve böylece de her sabiti , $O(f(n) \, (\log f(n))^{(k-1)ε})$ $k≥0$ $c≥0$ , zaman hiyerarşisi teoremiyle çelişen. $\mathrm{DTime}(O(f(n) (\log f(n))^c)) = \mathrm{DTime}(O(f(n)))$

Bununla birlikte, bu yapıcı olmayan kanıtın üç sınırlaması vardır:
* İspat iyi davranılmasını gerektirir (sadece zamana göre değil, aynı zamanda sürekli olarak belirli bir anlamda). * Biz olan belirli bir dil bilmek yok , ancak içinde . Yeterince büyük için arasında, simülasyon -tape Turing makineleri de değil $f$
$\mathrm{DTime}(O(f))$ $\mathrm{DTime}(O(f/(\log f)^ε)$ $k$ $k$ , ama göz ardı değil, hatta için ve , en az örneğin olan> BB (BB (1000)) burada BB yoğun kunduz fonksiyonudur. * Biz dahil sağlam olduğunu biliyoruz değildir. bir $\mathrm{DTime}(O(f/(\log f)^ε)$ $ε=1$ $f(n)=n^2$ $k$
$\mathrm{DTime}(O(f/(\log f)^ε)$ algoritma bazı girdiler için başarısız olur, ancak bazı girdiler için bazı girdiler için başarısız olduğunu ispatlayamadık ama son derece çok sayıda girdi boyutu (eğer olmasaydı çok şaşırtıcı olurdu).

— Dmytro Taranovsky
kaynak

Müthiş cevap! :)

— Michael Wehar