Minimum yol kaplama sorunu

Dağıtılmış bilgisayarlarda çalışıyoruz ve minimum yol kaplaması sorununu azaltan bir karmaşıklık sorunu ortaya çıkardık. Şu anda nasıl çözüleceğini bilmiyoruz. Sorun şudur:

Let bir tamsayı olması ve izin ihtiva eden bir grafiktir olmak köşe. Biz her birinde bir çift köşe etiket böyle . Bundan böyle köşe noktalarını etiketlerini kullanarak adlandıracağız. içindeki kenar şu şekilde tanımlanır: $k$ $Z_k$ $\frac{k(k+1)}{2}$ $(i,j)$ $1 \leq i \leq j \leq k$ $Z_k$ $\{ ((i,j),(i',j')) | i' >i \land j' \geq i \}$ .

Minimum yol kaplaması nedir $Z_k$ ?

"Diyagramlarda Yol Örtüsü Sorunları ve Program Testine Uygulamalar" Ntafos ve ark. , minimum yol kaplamasının, karşılaştırılamaz en büyük tepe kümesinin kardinaline eşit olduğunu gördük. Aşağıdaki sette düşünüyorduk: bir kardinal vardır . $S= \{ (i,j) : i \geq k/2 \land j < k/2 \}$ $\frac{k^2}{4}-\frac{k}{2}$

İçtenlikle,

Pierre

graph-theory co.combinatorics application-of-theory

— Pierre
kaynak

Olması gereken yerine bir kenarının tanımı ?

j^{'} \geq j

$j' \ge j$

j^{'} \geq i

$j' \ge i$

Z_{k}

$Z_k$

— Suresh Venkat

Grafiğiniz geçişli kapalı bir DAG gibi görünüyor, değil mi? Öyleyse (ve bu muhtemelen Ntafos ve ark.'nın atıfında söylediklerinizin bir ifadesidir) DAG'yi kaplamak için gereken minimum yol sayısı, sadece çift olarak karşılaştırılamaz elementlerin maksimum sayısıdır; bu Dilworth teoremi .

Örneğiniz, bu maksimum karşılaştırılamaz seti doğrudan tanımlayabilecek kadar basit olabilir, ancak genel olarak bu kümeyi polinom zamanda, grafik eşlemeye dayalı bir algoritma ile bulmak mümkündür. Dilworth teoremi hakkındaki Wikipedia makalesinin "König teoremi ile kanıt" bölümünde bunun nasıl yapılacağı açıklanmaktadır.

— David Eppstein
kaynak