Minimum Flip Bağlantı Problemi

Bugün aşağıdaki sorunu GPS cihazımla oynarken formüle ettim. İşte burada :

Let yönlendirilmiş bir grafiktir, örneğin eğer olacak E = ( u , v ) ∈ e daha sonra ( V , U ) ∉ e , yani G yatan yönsüz grafiğin bir yönlendirmesidir. Aşağıdaki işlemleri göz önünde bulundurun:$G(V,E)$$e=(u,v) \in E$$(v,u) \notin E$$G$

• : Bir kenarı ( u , v ) bir kenarı ( v , u $Flip(u,v)$$(u,v)$$(v,u)$
• : Aşağıdakileri kenar ( u , v ) yönsüz$undirect(u,v)$$(u,v)$

Let iki özel noktalar olabilir. Aşağıdaki optimizasyon sorunlarını göz önünde bulundurun:$s,t \in V$

• Min-çevir st-bağlantı: Verilen ve iki köşe s , t bir yönlendirilmiş yol yapmak için çevrilmiş gereken kenarların minimum sayıda s için t .$G$$s,t$$s$$t$
• Min-çevir kuvvetli bağlantı: Verilen yapmaya çevrilmiş gereken kenarların minimum sayıda bulmak G kuvvetle bağlanır. G'nin çevrelenmiş kenarlarla güçlü bir şekilde bağlanması mümkün değilse, çıkış NO.$G$$G$$G$
• Min-undirect güçlü bağlantı: verilen bağlantıyı sağlamak için G'nin yönlendirilmesi gereken minimum kenar sayısını bulur .$G$$G$

"Yeni" kenar eklemenize izin verilmediğini unutmayın. Yukarıdaki işlemleri kullanarak sadece mevcut kenarları değiştiriyorsunuz . Bu problem literatürde bilinir mi. Eğer öyleyse bilinen sonuçlar nelerdir?

Özet: Minimum maliyetle güçlü bir şekilde bağlı bir yönlendirme bularak sorunlar polinom içinde çözülebilir.

Daha fazla ayrıntı: Robbins teoremi, yönlendirilmemiş bir grafiğin kenarlarının yönlendirilebileceğini, böylece elde edilen yönlendirilmiş grafiğin sadece yönlendirilmemiş grafiğin 2-kenara bağlı olması durumunda kuvvetle bağlanabileceğini söyler. Birkaç uzantı var ve bunlardan biri polinom-zaman alt-modüler akış algoritması kullanarak, aşağıdaki problemi polinom-zaman içinde çözebileceğimizi söylüyor: Kenar maliyeti olan yönlendirilmemiş bir grafik göz önüne alındığında (her iki yön için de), asgari maliyet yönünü bulmak grafik kuvvetle bağlandı. Örneğin, Frank'in makalesine bakınız . Iwata ve Kobayashi tarafından daha yeni bir algoritma sağlanmıştır .

Bu sonuç, ortaya çıkan sorunları çözmek için yararlı olmalıdır. İlk sorun Tomek'in önerdiği yöntemle çözülebilir . Böylece diğer sorunlara odaklanacağız.

İkinci sorun için, Tomek'le aynı kenar ağırlıklı grafiğin yapısını kullanıyoruz ve polinom zamanında minimum maliyetle güçlü bir şekilde bağlı yönlendirmeyi buluyoruz.

Üçüncü problem için, her bir kenar için her iki yöne de izin vermek için, her bir kenarı çoğaltır ve ardından aynı yapı ve aynı algoritmayı uygularız. Bu geçerli bir azalmadır, çünkü kopyalanan kenarlar için aynı yönü kullanmak güçlü bağlantıyı etkilemez.

Bu ilk sorunun cevabı:
Yeni bir ağırlıklı grafik düşünün , burada E ′ = { ( u , v , 0 ) | ( u , v ) ∈ E } ∪ { ( v , u , 1 ) | ( u , v ) ∈ E } ( G’deki tüm kenarların ağırlıkları$G'=(V,E')$$E'=\{(u,v,0)|(u,v) \in E\} \cup \{(v,u,1)|(u,v)\in E \}$$G$0'dır ve 'ters çevrilmiş' kenarların ağırlıkları 1'dir. Şimdi t'ye en kısa yolu bulmanız gerekiyor .$s$$t$

Min-Flip st bağlanabilirliği, karar sorununu " kenarlarında saygısızlık gerektiren bir st yolu var mı ?" Olarak belirtirseniz NL-tamamlayıcısıdır . Onun için özel bir durum olarak st bağlantısı içerdiği için, NL-zor k = 0 , ve bir yolu tahmin edebilirsiniz çünkü NL var s için T bir sayaç tutarak, bir ters çevrilmiş kenarları kullanır ve anda sadece bir kenar üzerinden geçmeleri k kenarından daha fazlasının geriye doğru hareket etmemesini sağlayın .$k$$k=0$$s$$t$$k$

Son kitabımda, Kombinatoryal Optimizasyondaki Bağlantılar (Oxford University Press, 2011) merkezi bir tema, yukarıda tartışılan varyasyonları içeren grafik yönlendirme problemleridir. 2k-kenar-bağlı bir grafiğin k-kenar-bağlı bir yöne sahip olduğu bilinmektedir (bu Nash-Williams teoremidir). Eğer grafik 2k-kenar bağlı değilse, verilen bir F alt kenar kümesinin iyi olup olmadığına karar verilmesi ilginizi çekebilir (F, elde edilen karışık grafiğin k-kenar bağlantılı olması için bir yönelime sahip olması anlamında). Kitapta, bu sorunun polinom zaman içinde nasıl çözülebileceğini anlattım. Ancak minimum kardinalite iyi bir set nasıl bulacağımı bilmiyorum.

Andras Frank

Min-Flip st-connectivity Base: s (T) 'den ulaşılabilir tüm köşeleri hesaplar. t ise T durur. İndüktif: T'de olmayan ve T'ye bitişik olan tüm köşeleri tek bir çevirme ile düşünün ve bu U'yi çağırın. U'dan erişilebilen köşeleri bu V olarak adlandırın.

Min-Flip güçlü bağlantı Yönlendirme demek zorundasınız çünkü aşağıdakilerle ilgili bir sorun yaşayacağınız: A -> B