Sayı Bölme özel durumunun NP sertliği

Aşağıdaki sorunu düşünün,

Bir dizi Verilen pozitif sayılar hangi bir sabittir, biz içine setini bölümlere ayırmak istediğiniz boyutu alt kümelerine böylece her toplamının ürün alt küme maksimize edilir. $n = k m$ $\{ a_1, \dots, a_n \}$ $k \ge 3$ $m$ $k$

Sorun, her bir bölümdeki sayıların sayısında bir sınırımız olması dışında , iyi bilinen yönlü sayı bölümlemesine oldukça benzer . İçin Aşağıdaki basit polinom algoritma önerilebilir, $m$ $k = 2$

varsayalım sayılar yani sıralanır . Ardından için atama alt kümesine için , alt kümesine atamak . $a_1<a_2<...<a_n$ $i≤m$ $a_i$ $i$ $i>m$ $n−i+1$

Algoritmanın neden çalıştığını görmek zor değil. Sadece iki keyfi kutu seçin. Rakamlardaki herhangi bir değişiklik ürünün miktarını artırmaz.

Ama daha büyük 'lar için, sorunun polinom zamanında çözülüp çözülemeyeceğini merak ediyorum? Birisi bunun np-sertliğini gösterebilirse minnettar olurum. $k$

Not: Kablosuz ağlarda bir zamanlama sorunu üzerinde çalışırken sorunla karşılaştım. Sorunu çözmek için iyi bir sezgisel algoritma buldum. Fakat bir süre sonra sorunun teorik olarak ilginç olabileceğini düşündüm.

— Helyum
kaynak

Hmm.

için basit polinom algoritmanızı görmek isterim .

k = 2

$k=2$

— mjqxxxx 15:11

@Mohsen, teşekkürler. Motivasyon, arka plan ve sorudaki k = 2 vakası hakkında bildikleriniz hakkındaki bu yorumları eklemenizi öneririm. Bu muhtemelen başkaları için daha ilginç hale getirecektir.

— Kaveh

Sezgim, toplamlar eşit olduğunda veya maksimum ikili fark minimum olduğunda, her alt kümenin toplamının ürününün en üst düzeye çıkarılmasıdır. Bu varsayım altında, NP-tam olan 3 bölümden kolayca indirgeme sağlıyoruz (k = 3 için).

— Muhammed El-Türkistan

(Daha doğru bir şekilde yeniden yazmak için birkaç saat önce yayınladığım iki yorumu kaldırdım.) Türkistan'ın önerdiği gibi, k-bölme sorunu bu soruna indirgenebilir ve bu nedenle bu sorun her sabit k≥3 için NP-zordur. İlgili tek özellik, toplamların maksimum değerinin en azından (∑a_i / k) ^ m olması ve yalnızca sayıların her biri toplamları eşit olan k boyutuna sahip m kümelerine bölünebiliyor olmasıdır. Ürün her zaman maksimum ikili farkı en aza indiren bölüm tarafından en üst düzeye çıkarılmaz, ancak kesin problemi düşündüğümüz sürece bu önemsizdir. (daha fazla)

— Tsuyoshi Ito

(devam) Girdinin çoklu ayar yerine bir küme olmasını istiyorsanız , bu azaltma yine de çalışır çünkü k-bölme sorunu kümede bile NP-tamamlanmış olarak kalır, ancak dikkatli olun çünkü NP-bütünlüğünün standart kanıtı bölümlü sorunun yalnızca girişin aynı tamsayıyı birden fazla içermesine izin verildiğinde çalışır. Görmek . 3 bölümlü sorunun farklı sayılarla hesaplama karmaşıklığı (dikkat: kendini tanıma).

— Tsuyoshi Ito

(Bu, soru hakkındaki yorumların biraz daha ayrıntılı bir versiyonudur.)

Türkistan'ın soru üzerine yaptığı bir yorumda öne sürdüğü gibi, bu sorun k- bölüm probleminden kaynaklanan bir azalmayla her sabit k ≥3 için NP-zordur . İndirgeme, örnekleri hiç değiştirmez: toplamların maksimum değerinin en az olduğunu unutmayın (∑ a_i / k )^m olduğunu ve yalnızca sayıların m'ye bölünebiliyorsa,her biritoplamları k boyutunda k hepsi eşit.

Unutmayın ki, k -Partition sorunu genellikle olarak tanımlanır km numaraları tüm farklı olmayabilir , ve bu onun NP-tamlığı standart kanıtı esastır (örneğin içinde biri olarak Gorey ve Johnson ). Bu nedenle, yukarıdaki azalma sadece girişin bir küme yerine bir çoklu set olmasına izin verilen mevcut problemin hafif bir genellemesinin NP sertliğini kanıtlamaktadır. Bununla birlikte, bu boşluk doldurulabilir, çünkü girişteki sayıların tamamen farklı olması gerekse bile k- bölüm problemi NP-tam kalır; k = 3 durumu için [HWW08] 'e bakınız (ayrıca Serge Gaspers'in cevabına da bakınız)başka bir soruya), ki bu daha büyük k değerleri için kolayca değiştirilebilir .

Ek olarak, burada belirtilen her şey girişteki sayılar tekli verildiğinde bile NP-tam / NP-sert kalır.

[HWW08] Heather Hulett, Todd G. Will, Gerhard J. Woeginger. Derece dizilerinin çok grafiğe göre gerçekleştirilmesi: Maksimizasyon kolaydır, minimizasyon zordur. Yöneylem Araştırması Mektupları , 36 (5): 594-596, Eylül 2008. http://dx.doi.org/10.1016/j.orl.2008.05.004

— Tsuyoshi Ito
kaynak