Grafiklerden hipergraflara geçmenin temel zorlukları nelerdir?

Kombinatorik ve bilgisayar bilimlerinde bir grafik-teorik problemi analiz edebileceğimiz birçok örnek vardır, ancak problemin hipergraf analogu için araçlarımız eksiktir. Neden 3 üniform hipergraflarda problemlerin 2 üniform grafiğe göre daha zor olduğunu düşünüyorsunuz? Kök zorlukları nelerdir?

Bir mesele, henüz spektral hipergraf teorisi hakkında tatmin edici bir anlayışa sahip değiliz. Lütfen bu konuya daha fazla ışık tutmaktan çekinmeyin. Ama aynı zamanda hipergrafları daha zor nesneler yapan başka nedenler de arıyorum.

Bu soruda anladığım kadarıyla "zorluk", "hesaplaması zor" değil, "çalışması zor" anlamına gelmektedir.

Bazı kavramlar eşdeğer olduğu için grafik problemlerinin (en azından benim için) incelenmesi daha kolaydır. Başka bir deyişle, grafikler için soruları hipergraflara yönelik olanlarla genelleştirmek istiyorsanız, istenen sonucun elde edilebilmesi için "doğru" genellemeye dikkat etmeniz gerekir.

Örneğin, bir ağacı düşünün. Grafikler için, grafik bağlıysa ve döngü içermiyorsa bir ağaçtır. Bu, bağlanmaya ve n-1 kenarlara sahip olmakla eşdeğerdir (burada n, köşe sayısıdır) ve ayrıca döngü içermeyen ve n-1 kenarlara sahip olmakla eşdeğerdir. Bununla birlikte, 3-üniform hipergraflar için, 3-üniform bir hipergrafın bağlı ve döngü içermeyen bir ağaç olduğunu varsayalım. Ancak, bu, bağlanmak ve n-1 hiper köprülerine sahip olmak veya hiçbir döngü içermemek ve n-1 hiper köprüye sahip olmakla eşdeğer değildir.

Düzgün hipergraflar için düzenlilik lemmalarını kanıtlamanın ana zorluğunun, düzenlilik ve ilgili kavramların doğru tanımlarını bulmak olduğunu duydum.

"Spektral hipergraf teorisi" ni dikkate almak istediğinizde, doğrusal bir cebirin doğal olarak ortaya çıktığı (k-1) boyutlu basit bir kompleks olarak k-muntazam bir hipergraf görüyorsanız, tensörlere veya homolojiye bakmaya çalışabilirsiniz. Amacınız için "doğru" genellemenin hangisi olduğunu bilmiyorum ya da her ikisinin de doğru olmaması mümkündür.

Bence bu büyük ölçüde Lawler'in “ikizliğin mistik gücü” (param = 2 için birçok parametrelenmiş problemin P ve param≥3 için NP-tamamlanmış olması) gözlemidir. Bir grafik köşelerin 2-ucunu birbirine bağlayan bir şeydir ve hipergraf k≥3 için köşelerin k-uçlarını birbirine bağlayan bir şeydir.

Yani, örneğin, 2-SAT P'dir ve esasen bir grafik problemidir, oysa 3-SAT 3 üniform hipergraflarda bir problemdir ve NP-tamamlanmıştır.

Başka bir neden, ikili ilişkiler konusunda 2'den büyük n için diğer n-ary ilişkilerinden çok daha fazla bilgiye sahip olmamızdır .

Doğal olarak, bitişiklik, boş olmayan kavşak, denklik vb. Gibi nesneler arasındaki ikili ilişkileri göz önünde bulundururuz. Böylece grafikleri ikili ilişkiler açısından tanımlayabilir ve hatta başka bir grafikteki bazı ikili ilişkilere dayalı olarak grafiği tanımlayabiliriz. (Örneğin, çizgi grafikler, uçurum ağaçları, ağaç ayrışmaları ...)

Ancak diğer n-ary ilişkilerine gelince, çok fazla anlayışımız yok. Örneğin, ilginç üçlü bir ilişki bulmak biraz zaman alır; (Tamam, kısmen bilgisizliğimden dolayı) özellikler zayıftır ve üçlü ilişkilerin çalışılmasında araçlar çok daha azdır. ( Simetrik veya geçişli üçlü ilişkileri nasıl tanımlarız ? Her ikisi de çalışılabilecek en önemli ilişkiler arasındadır.)

Ama bunun neden ikili ve üçlü ilişkiler arasında olduğunu bilmiyorum. Belki de Türkistan'ın dediği gibi bu soru zordur ve P / NP sorununun anlaşılmasıyla ilgili olabilir.

İlk önce yanlış soruyu cevaplayacaktım: "hipergraflarda hangi problem örneğinin grafiklerden çok daha zor olduğu". Özellikle grafiklerdeki maksimum eşleme problemi ile ilgili farktan etkilendim ve aynı renklendirme, maksimum bağımsız set, maksimum klibi modelleyebilen hipergraflar (çift yönlü ayrık kenarlar kümesi) ...

Sonra bunun senin sorunun olmadığını fark ettim: "ikisi arasındaki temel zorluklar nelerdir?".

Şimdiye kadar, grafikler ve hipergraflar arasında çok fazla ortak nokta görmediğime cevap verirdim. İsmin kendisi hariç. Ve birçok insanın sonuçları birinden diğerine "genişletmeye" çalıştığı gerçeği.

Berge'nin "Hipergrafları" ve Bollobas'ın "Set sistemleri" sayfalarını çevirmek için bir fırsatım vardı: çok lezzetli sonuçlar içeriyorlar ve en ilginç bulduğum grafiklerle ilgili söyleyecek çok az şey vardı. Örneğin Baranyai teoremi (Jukna'nın kitabında güzel bir kanıt var).

Bunların çoğunu bilmiyorum ama şu anda bir hipergraf problemi düşünüyorum ve bunun hakkında söyleyebileceğim tek şey, etrafta hiçbir yerde gizlenen bir grafik hissetmiyorum. Belki de onları "zor" olarak düşünüyoruz çünkü onları sadece yanlış araçlarla incelemeye çalışıyoruz. Üzerinde çalıştığım grafik problemlerinin sayı teorisini kullanarak (bazen de olsa) derhal yok olmasını beklemiyorum.

Oh, ve başka bir şey. Kombinatoryal olarak çok fazla oldukları için çalışmak belki de daha zordur .... devamı?!

"hepsini deneyin ve ne zaman işe yaradığını görün" bazen grafikler için iyi bir fikirdir, ancak hipergraflarla hızlı bir şekilde sayılarla uğraşmıştır. :-)