UPB için Polinom algoritmaları (Uzatılamaz Ürün Tabanları)

Bir Hilbert uzayını düşünün $H = H_1 \otimes \dots \otimes H_n$. Uzatılamaz Ürün Temeli (UPB), bir dizi ürün vektörüdür$\vert v_i \rangle = \vert v_i^1 \rangle \otimes \dots \otimes \vert v_i^n \rangle$ öyle ki:

a) hepsi $\vert v_i \rangle$ karşılıklı dik

b) hepsine dik ürün vektörü yok $\vert v_i \rangle$

c) temel önemsizdir, yani $H$

(bu tür bazlar kuantum bilgisiyle ilgilenir)

Sorular:

1. Polinom algoritması var mı ( $n$) UPB bulmak için? (genel olarak UPB boyutunda üst sınır olmadığını unutmayın, bu nedenle bir priori üstel olabilir$n$)

2. Belirli bir ürün temelinin UPB olup olmadığını kontrol etmek için bir polinom algoritması var mı? (yani dayanılmaz)

Yoksa problem NP-tamamlanmış mı?

Soru (1) tarafından biraz şaşırdım. Şunun için ayrılmaz bir ürün temeli mevcuttur:$H_1 \otimes H_2 \otimes \ldots \otimes H_n$ Eğer $n\geq 3$ ya da eğer $n=2$ ve $\dim H_1, \dim H_2 \geq 3$. Tüm bu durumlarda, bir tane bulmak kolaydır.

Soru (2) için, soru, altuzayda, tabanın kapsadığı boşluğun tamamlayıcısı olan bir tensör ürün durumunun olup olmadığının kontrol edilmesine eşdeğerdir. Leonid Gurvits, genel bir alt uzayın bir tensör ürün durumu içerip içermediğini kontrol etmenin NP-zor olduğunu gösterdi, bu yüzden bu durumda da zor olduğundan şüpheleniyorum.

Tam sınıflandırma başka bir basit vaka 3x3 için de bilinir, bu ilk olarak http://arxiv.org/abs/quant-ph/9808030 makalesinde ele alınmıştır .

Sonuç aynı zamanda dördüncü sıradaki keyfi 3x3 PPT dolaşmış durumların inşasıyla da ilgilidir. Makaleye bakın

http://arxiv.org/abs/1105.3142 .