Postselection ile Etkileşimli Kanıtlar?

Özdeş olması hesaplama modeli MPostBQP tanımla PostBQP biz yazı-seçimi ve nihai ölçümden önce polynomially birçok qubit ölçümleri izin haricinde.

MPostBQP'nin PostBQP'den daha güçlü olduğunu gösteren herhangi bir kanıt verebilir miyiz?

Son ölçümü yapmadan önce çoklu ölçüm ve seçim sonrası turlara izin vermek için MPostBQP [k] tanımlayın. Endekslemeyi MPostBQP [1] = PostBQP ve MPostBQP [2] = MPostBQP vb. (Güncelleme: Aşağıda resmi bir tanım verilmiştir.)

Arthur-Merlin oyunlarını düşünün. Belki de onları bu hesaplama modelinde simüle edebiliriz: Postselection, Merlin'in inandırıcı mesajlar üretme rolünü alabilir ve ara ölçümler Arthur'un halka açık jetonunun rolünü üstlenebilir. Bu olasılık sormamı sağlıyor:

AM [k] MPostBQP [k] var mı?$\subset$

Bu gerçekten MA PP yazan için bilinir . için göstermek, sadece AM PP ise MPostBQP = PP anlamına gelir . Yana AM PP yer almayan edildiği bir kahin göreli var , bu benim ilk soru için olumlu cevap verebilir.$k=1$$\subset$$k=2$$\subset$

Son olarak, polinom olarak birçok mermi davasında,

PSPACE MPostBQP [poli] var mı? Eğer öyleyse, eşitlik mi?$\subset$

Bu felsefi açıdan ilginç olurdu (en azından benim için) çünkü bize "post seleksiyon büyücü" için "izlenebilir" problem sınıfının tüm PSPACE'i içerdiğini (veya öyle olduğunu ) söylerdi .

EDIT: MPostBQP resmi bir tanımı istendi. (Aşağıdakileri güncelledim.)

MPostBQP [k] diller sınıfıdır polinom boyutlu kuantum devrelerin tek tip bir aile vardır olan , öyle ki tüm girişi , aşağıdaki prosedür ise en az ve değilse en fazla olasılıkla doğruluk verir . ( değil ) bağlı olabilecek bazı seçimlere izin veren prosedür aşağıdaki gibi tanımlanır:$L \subset \{0,1\}^*$$\{C_n\}_{n \geq 1}$$x$$2/3$$x \in L$$1/3$$x \notin L$$L$$x$

Prosedür: Adım 1. Aşağıdaki üniter operatörü uygulayın :$C_n$ giriş durumuna $\left\vert 0\cdots 0\right> \otimes \left\vert x \right>$. İlkinin uzunluğunu not edin$\left\vert0\cdots 0\right>$ kayıt en çok polinom uzunluğundadır $x$. Aşama 2. için$i = 1 \cdots k$: Eğer $i$daha sonra, ilk kayıttan istenen sayıda kubit ölçülür (en çok polinom olarak çoğu, kayıt büyüklüğüne göre). Eğer$i$ tuhafsa, sonradan seçim yapın, böylece ilk kayıtta seçilen tek bir kübit şu şekilde ölçülür: $\left\vert 0 \right>$(ve olasılığın sıfır olmadığından emin olun, bu yüzden seçim sonrası elbette geçerlidir). Adım 3. Son olarak, ilk kayıttaki son kubiti ölçün ve ölçtüğümüzde true değerini döndürün$\left \vert 1 \right>$ ve yanlışsa.

MPostBQP [0] = BQP, MPostBQP [1] = PostBQP ve MPostBQP: = MPostBQP [2] var. Ben Arthur-Merlin sınıfları nerede AM [0] = BPP, AM [1] = MA ve AM [2] = AM yansıtmaya çalışıyorum.

EDIT (27.03.2011 17:00): Seçim sonrası bu bağlamda nasıl tanımlanması gerektiği konusunda tartışmalar var gibi görünüyor. Açıkçası, sorumu önemsizleştirmeyen bir tanım demek istiyorum! :) Kabul ettiğim tanım şudur: kth bitinde sonradan seçim yapmak, durumu kth bitinin bulunduğu alt alana yansıttığımız anlamına gelir.$0$ve normalleştirin. Ölçüm yapmadan önce seçtiğimiz bir şemada, son seçimlerin ölçümlerle değiştirildiği bir şemadaki koşullu olasılıklara bakarak nihai istatistikleri elde edebileceğimiz ortaya çıkıyor. Bununla birlikte, ölçümler ve seçim sonrası serpiştirildiğinde bu karakterizasyonun bozulduğunu iddia ediyorum. Bence karışıklık, bu "koşullu olasılık tanımını" (genelleme yaptığım özel durumda çalışan), yeni vermiş olduğum "zorunlu ölçüm" tanımından ziyade, seçim sonrası tanım olarak kullanan insanlardan kaynaklanıyor. değişme eksikliği nedeniyle düzen. Umarım bu yardımcı olur!

EDIT (27.03.2011 21:00): Saf hal formalizminde post-selection'i zaten tanımladım. Niel, 3-kubit örneği için benimki ile aynı fikirde olmayan yoğunluk matris formalizminde bir analiz verdi. Suçlu, yine, seçim sonrası tanımdır. Yoğunluk matrisi ayarında sonradan seçimi aşağıdaki gibi tanımlayın. Bir yoğunluk matrisi verildi$M$, ayrılabilir durumların bir karışımı olarak yeniden yazın $M = \sum p_i \left\vert a_i \right> \left< a_i \right\vert$. İzin Vermek$\left\vert A_i \right>$yukarıda tanımladığım saf durum biçimciliğini kullanarak seçim sonrası (bazı kübitlerde) sonucu olabilir. Sonraki seçimin sonucunu$M$ olmak $\sum p_i \left\vert A_i \right> \left< A_i \right\vert$.

Bu daha mantıklı bir tanımdır, çünkü seçimden sonra, zaten izlediğimiz olayların (ölçümlerin) istatistiklerini değiştirdiğimizi söyleyen sonuçlar vermez . Yani$p_i$"Sikke attığımız" madeni paraların olasılıkları. Zaman içinde geri döneceğimizi ve zaten olan bir bozuk parayı çevirdiğimizi söylemek mantıklı değil, çünkü mevcut seçim seçimini daha muhtemel hale getirecektir.

EDIT (28.03.2011): Niel, tanımlarımla sorunun mantıklı olduğunu ve önemsiz olmadığını kabul ediyor - ama seçim sonrası dememeliyim . Karışıklık miktarı göz önüne alındığında, ona katılıyorum. Öyleyse "zorla ölçüm" yapan seçim olarak tanımladığım şeyi çağıralım . Muhtemelen tanımladığım karmaşıklık sınıflarının adını da değiştirmeliyim (içlerinde "Post" olmamalı) bu yüzden onlara QMS [k] diyelim (kuantum-ölçü-select).

Yorumlar, Shaun'un seçim sonrası normalde anlaşılandan farklı bir şeye sahip olduğunu düşünüyor. Şimdi bunu, belirli bir seçim sonrası yapılan herhangi bir ölçümün istatistiklerinin, sonraki seçim sonrası değiştirilmemesi gerektiği anlamına geldiğini anlıyorum. Bu, normalleştirmenin, bir bütün olarak dalga fonksiyonunun yerine, belirli bir ölçüm sonucuna karşılık gelen dalga fonksiyonunun her bir kolu üzerinde gerçekleştirildiği bir projeksiyon operatörüne sahip olmaya benzer.

Bu durumda, kendim ve Neil'in diğer cevaplarında verilen argümanlar artık geçerli değil. Gerçekten de kolayca görülebilir$P^{PP[k]}\subseteq$ MPostBQP [k], MPostBQP'den beri$[k]$ yapabilir bir BQP makinesi olarak görülebilir $k$ PP kehanete sorular ve dolayısıyla $P^{\# P}\subseteq$ MPostBQP .

Şimdi önemsiz bir alt sınırımız var, bir üst sınır ne olacak? Sorun açıkça PSPACE'de , ama daha iyisini yapabilir miyiz? Aslında bence yapabiliriz.

MPostBQP'de herhangi bir hesaplamayı formun katmanları dizisi olarak yazabiliriz : kuantum hesaplama, ardından bir seçim sonrası, ardından tek bir kubit ölçümü. Gerçekten de, bu MPostBQP [k] formülü oluşturmak için alternatif bir yol olabilir .$k$bu tür katmanlar (bu, yalnızca son seçim sayısını saymayı amaçladığına inandığım Shaun'un tanımından biraz farklıdır), ardından klasik bir son işleme son katmanı gelir. Bu MPostBQP [k] tanımını daha estetik açıdan hoş bir sonuç verdiği için aşağıda kullanacağım.

Aşağıda, kanıttaki bir deliği düzeltmek için orijinal sürümden güncellenmiştir.

İlk önce ölçülen ilk kubitin ölçümünün sonucunu hesaplamak istiyoruz (sonradan seçilmedi!). Bunu yapmak için öncelikle herhangi bir kuantum hesaplamanın sadece Hadamard kapıları ve Toffoli kapıları ve genliği kullanılarak ifade edilebildiğini not ediyoruz.$\alpha_w$ belirli bir hesaplamaya dayalı durumun $|w\rangle$ çıktı en fazla toplamı olarak yazılabilir $2^{H}$ şartlar $a_{j,w}$, nerede $H$her biri benzersiz bir hesaplama yoluna karşılık gelen toplam Hadamard geçidi sayısıdır. Açıkça,$a_{j,w} = \pm 2^{-H/2}$. Nihai durum elde etme olasılığı$|w\rangle$ sonra tarafından verilir $\alpha_w^2 = (\sum_j a_{j,w})^2 = \sum_{i,j} a_{j,w}a_{i,w}$. Toplam 1 ölçüm olasılığını hesaplamak istiyoruz.$S_0$ seçim sonrası ölçütleri karşılayan (yani seçim sonrası kübit 1'dir) ve ölçülen kübit için 0 ile sonuçlanan hesaplamalı temel durumlar kümesi olmalı ve $S_1$seçim sonrası ölçütleri karşılayan ve ölçülen kübit için 1 ile sonuçlanan hesaplamalı temel durumlar kümesi olmalıdır. Tanımlayabiliriz

Bu durumda, sonradan seçilen kübit için 1 üzerinde şartlandırılmış bir 1'in ölçülme olasılığı, $\frac{\pi_1^+ - \pi_1^-}{\pi_1^+ - \pi_1^- - \pi_0^- + \pi_0^+}$. Bunu #P kehanetine 4 çağrı ile belirleyebileceğimiz gibi. Bunu rastgele bir bit üretmek için kullanıyoruz$b_1$ 1 olasılıkla 1 $X_1$, kuantum ölçümü ile aynı. Böylece MPostBQP [1]$BPP^{\# P[4]}$.

Daha sonra ikinci kubitin ölçüm sonucunu hesaplıyoruz. Bunu yapmak için, ilk katmanla aynı #P sorgularını çalıştırırız , ancak ilk iki katmanı oluşturarak elde edilen devrede ve seçili kubitlerin her biri için 1'den sonra seçim yaptığımız yerde, aynı zamanda$b_1$ ölçüm çıkışı için 1. Bu, 1 yerine 3 kubit durumunda post seleksiyon olmasına rağmen, bunun önemsiz bir değişiklik olduğunu unutmayın. $\# P$yalnızca 3 kubitin tamamı gerekli koşulları karşıladığında ayarlanan bir ancilla ekleyerek ve bunun yerine bu ancilla üzerinde seçim yaparak sorgulamalar yapabilir. Bu daha sonra, etiketlediğimiz ikinci ölçülen kübitin sonucu için doğru koşullu çıktı olasılıklarını üretir.$b_2$. Şimdi #P kehanetine 8 çağrı kullandığımızı unutmayın .

Bu işlemi tekrarlı olarak tekrarlıyoruz, böylece bir katmanda $j$ tüm için 1 sonrası seçim $j$ önceden seçilmiş kübitler ve üzeri $b_{i<j}$ önceki tüm ölçümler için ve ilgili $P^{\# P}$ makine $b_j$. Toplamda bu gerekli$4j$ kehanet sorguları.

Böylece MPostBQP var [k] var$\subseteq P^{\# P[4k]}$önceki sonuçla birleştiğinde, $P^{PP[k]}\subseteq$ MPostBQP$[k]$, ima ediyor ki $P^{PP[k]} \subseteq$ MPostBQP [k]$\subseteq BPP^{\# P[4k]}$ve dolayısıyla MPostBQP $= P^{\# P}$.

[Revize edilmiştir.] Yanıtımı, sorunuzdaki revizyonlarınıza göre revize ettim, orijinal yanıtımın içeriğini korudum, ancak daha kısa yaptım. "Simülasyon" sürecinin daha ayrıntılı açıklaması değiştirildi, ancak bu yazının düzenleme geçmişini görüntüleyerek görülebileceğini düşünüyorum.

Çoğu insan şartlı bir olasılık anlamında "seçim sonrası" anlayacak. Gerçekten de, PostBQP'deki Wikipedia makalesinin mevcut sürümü bu şekilde açıklanmaktadır; ve yoğunluk operatörleri (one ²  = Φ ve daha sonra izi yeniden normalleştirecek şekilde tamamen pozitif iz-artmayan bir harita applies uyguladığı bir işlem olarak görülüyor ), bu tanımı kurtarır.

Bu seçim sonrası tanımı göz önüne alındığında, bir MPostBQP [ k ] algoritması tanımınız , Post-seçimleri erteleyerek ve aynı anda, uygun bir şekilde gerçekleştirerek bir PostBQP algoritması ile simüle edilebilir . Bu, Aaronson'un PostBQP sınıfını tanıtan Quantum Computing, Postselection ve Probabilistic Polynomial-Time belgesinin 3. veya daha az açık bir şekilde not edildi .

Bu bit dizisi için, işaret ederek açıkça gösterilebilir p ₁  ,   p ₂  postselected için, ... ( örn olarak 1her zamanki durum), bunları olmak kondüsyonlamanın arasında hiçbir fark yoktur 1ortasında bunların hesaplanması ve koşullandırılması1 aradaki bu bitlerin değerleri değişmediği sürece sonundadır. Daha sonra, her biri ayrı ayrı olmak üzere sonradan seçim yapmak yerine 1, mantıksal VE hesaplarını seçim sonrası önce hesaplayabilir ve daha sonra bu bağlantı varlığını seçebiliriz1. Ayrıca, AND'in hesaplanması, bitin son dönüşümü ile son seçimi arasındaki herhangi bir noktada gerçekleştirilebilir. Bu hiçbir şekilde devletin mülklerinin ortak istatistiklerini etkilemeyecektir.

Böylece, koşullu olasılıkların açısından postselection ortak tanımını kullanarak, biz olurdu MPostBQP [ k ] =  PostBQP herkes için k  > 0.

Yukarıda açıklamalarda belirtildiği gibi, ben işlem, durumuna tarif hangi sanmıyorum vektörler - spesifik olarak, durum sonuçlarının ölçüm sonuçları üzerindeki olasılık dağılımının her dalında bağımsız olarak durum vektörlerinin renormalizasyonunu içerir- alandaki pek çok insanın (özellikle deneysel uzmanlar) kavramı tanımlayacağı gibi, post-seleksiyona karşılık gelir. Yoğunluk operatörleri üzerindeki bir haritalamaya genişletilirse, bazı 'fiziksel olmayan' özelliklere neden olabilir. Bununla birlikte, düğümleri devlet vektörleri tarafından etiketlenen karar ağaçları gibi bir şey inşa etmenin olası bir yoludur ve bu nedenle prensipte kendi başına makul bir çalışma sürecidir. Bu sürece 'seçim sonrası' demem.

Düzenleme uğruna, hesaplanan örneği kaldırdım. Sanırım bu yazının düzenleme geçmişini görüntüleyerek görülebilir.

Sizi küçük tanımından görünüyor MPostBQP bu basitçe olduğunu, PostBQP süslü elbise. Ölçümlerin yeniden sıralanabileceğine sizi ikna etmeye çalışmak yerine, belki de PostBQP = PP olduğu bilindiği için MPostBQP = PP'yi kanıtlamak daha ikna edici olacaktır (bakınız quant-ph / 0412187 ). Bunu kanıtlamak için, onu iki göreve ayırıyoruz:

1. PP'yi kanıtlamak$\subseteq$MPostBQP ve
2. MPostBQP olduğunu kanıtlamak$\subseteq$ PP

İlk görev önemsizdir, çünkü PP = PostBQP = MPostBQP [1]$\subseteq$MPostBQP . İkinci görev gerçekten buradaki ana sorudur, ancak PostBQP = PP'nin kuant -ph / 0412187 olarak verilen kanıtına basit bir uyarlama yaparak cevaplanabilir ( kanıtın taslağı için PostBQP'deki Wikipedia sayfasına bakın ).

Aşağıdakiler PostBQP = PP için Wikipedia kanıtı çiziminden uyarlanmıştır .

Herhangi bir MPostBQP hesaplamasına karşılık gelen devreyi üniter kapılar ve post-seleksiyonlar olarak yazabiliriz . Genelliğin kaybı olmadan, bir kubit seçildikten sonra, bir daha asla hareket edilmediğini varsayabiliriz. Böylece, hesaplamanın sonunda elde edilen kuantum durumu, $|\psi\rangle = \prod_i (P_i^1 \prod_j A^{ij}) |x\rangle$, nerede $P_i^1$ qubit için projektörü gösterir $i$ üzerine $|1\rangle$ altuzay ve $A^{ij}$temel kapılara karşılık gelen matrislerdir. Genel kayıp olmadan tüm girişlerin$A^{ij}$ ek bir kübit pahasına gerçektir.

Şimdi izin ver $\{p_i\}$ sonradan seçilen kübitler kümesi olun ve $q$qubit çıktı olsun. Biz tanımlarız$\pi_0 = \sum_{w \in S_0} \psi_w^2$ ve $\pi_1 = \sum_{w \in S_1} \psi_w^2$, nerede $S_0$ ($S_1$), hesaplamalı temel durumlar kümesidir. $p_i = 1 \forall i$ ve $q=0$ ($q=1$). MPostBQP'nin tanımı daha sonra$\pi(1) \geq 2\pi(0)$ veya $\pi_0 \geq 2\pi_1$. Fikir daha sonra karşılaştırmak için bir PP makinesi inşa etmektir.$\pi_0$ ve $\pi_1$. ifade$\psi_w$, son dalga fonksiyonunun bir parçası $\psi$ belirli bir hesaplama temel durumuna karşılık gelen $w$, yolların toplamı ve endekslerin değiştirilmesi $i$ ve $j$ üzerinde $A^{ij}$ tek bir indeks ile $k$ 1'den $G$, elde ederiz $\psi_w = \sum_{\alpha_1 ... \alpha_G} A^{G}_{w,\alpha_G} A^{G-1}_{\alpha_G,\alpha_{G-1}} ... A^{1}_{\alpha_2,\alpha_1} x_{\alpha_1}$.

Bu durumda fikir, olasılıkla kabul eden bir PP makinesi inşa etmektir.$\frac{1}{2}(1+C(\pi_1-\pi_0))$ bazı $C>0$, o zamandan beri $x \in L$ bunu ima eder $\frac{1}{2}(1+\pi_1-\pi_0)> \frac{1}{2}$ ve $\frac{1}{2}(1+\pi_1-\pi_0) < \frac{1}{2}$ Eğer $x \notin L$.

Şimdi izin ver $\alpha = \{\alpha_i\}$ ve $F(A,w,\alpha,X) = A^{G}_{w,\alpha_G} A^{G-1}_{\alpha_G,\alpha_{G-1}} ... A^{1}_{\alpha_2,\alpha_1} x_{\alpha_1}$. Sonra$\pi_1 - \pi_0 = \sum_{w \in S_1} \sum{\alpha,\alpha'} F(A,w,\alpha,X)F(A,w,\alpha',X) - \sum_{w \in S_0} \sum{\alpha,\alpha'} F(A,w,\alpha,X)F(A,w,\alpha',X)$.

Böyle bir PP makinesi daha sonra aşağıdaki gibi tanımlanabilir:

1. Hesaplamalı temel durumu seçin $w$ tekdüze rastgele.
2. Eğer $w \notin S_0 \cup S_1$, sonra dur ve olasılıkla kabul et $1/2$, aksi takdirde reddedin.
3. İki dizi seç $\alpha$ ve $\alpha'$ nın-nin $G$ hesaplama temelini rastgele eşit olarak belirtir.
4. hesaplamak $X = F(A,w,\alpha,x)F(A,w,\alpha',x)$.
5. Eğer $w\in S_1$ sonra olasılıkla kabul et $\frac{1+X}{2}$, aksi takdirde reddedin. Alternatif olarak,$w\in S_0$ sonra olasılıkla kabul et $\frac{1-X}{2}$, aksi takdirde reddedin.

Bu MPostBQP'yi koyar [k]$\subseteq$ PP , herkes için$k$Ve dolayısıyla MPostBQP artık güçlü daha PostBQP .