Belirsizlik ve Mantık

17

Otomata teorisinde (sonlu otomata, aşağı itmeli otomata, ...) ve karmaşıklıkta, "belirsizlik" kavramı vardır. En az iki farklı kabul çalışması olan kelimesi varsa, otomat belirsizdir $w$ . Bir makinedir $k$ her kelime için eğer -ambiguous en fazla orada makine tarafından kabul edilen kabul etmek ayrı koşular . $w$ $k$ $w$

Bu kavram bağlamdan bağımsız gramerler üzerinde de tanımlanmıştır: iki farklı şekilde türetilebilecek bir kelime varsa, gramer belirsizdir.

Birçok dilin sonlu modellere göre hoş bir mantıksal karakterizasyonu olduğu da bilinmektedir. Bir dil ise ( düzenli bir monadik ikinci dereceden formül vardır her kelime şekilde kelimeleri arasında bir modeldir benzer NP ise her 2 sipariş nicelik varoluş olan ikinci dereceden formüller eşdeğerdir .) $L$ $\phi$ $w$ $L$ $\phi$

Dolayısıyla sorum iki alanın kenarlarında: belirli bir mantığın formüllerinin “belirsizliğinin” herhangi bir sonucu, hatta kanonik bir tanımı var mı?

Birkaç tanım hayal edebiliyorum:

$\exists x \phi(x)$ en az bir mevcutsa olmayan belirsiz öyle ki tutar ve bu olmayan belirsizdir. $x$ $\phi(x)$ $\phi(x)$
$\phi_0\lor\phi_1$ bir model mevcutsa belirsiz olacaktır hem ve durumunda veya belirsizdir. $\phi_0$ $\phi_1$ $\phi_i$
Bir SAT formülü, en fazla bir doğru atama varsa muğlak değildir.

Bu nedenle, bunun iyi bilinen bir kavram olup olmadığını merak ediyorum, aksi takdirde bu konuda araştırma yapmaya çalışmak ilginç olabilir. Eğer kavram biliniyorsa, kimse bana konuyla ilgili bilgi aramak için kullanabileceğim anahtar kelimeler verebilir mi ("mantık belirsizliği" alakasız sonuçlar verir) ya da bir kitap / pdf / makale referansları?

— Arthur MILCHIOR
kaynak

11

Dilbilgisindeki kurallar ve mantıktaki çıkarım kuralları, bize "bilinen şeyler" den "yeni şeyler" veren üretim kuralları olarak düşünülebilir. Nasıl bir dilbilgisine göre bir kelime üretmenin (veya ayrıştırmanın) birçok yolu olabileceği gibi, mantıksal bir formül üretmenin (veya kanıtlamanın) birçok yolu olabilir. Bu benzetme daha fazla çizilebilir. Örneğin, bazı mantıksal sistemler normal kanıt türlerini kabul eder. Benzer şekilde, bazı gramerler kanonik ayrıştırma ağaçlarını kabul eder.

Bu yüzden mantığınızdaki örneklerin yanlış yöne gittiğini söyleyebilirim. Doğru benzetme

"parse tree": "word" = "kanıt": "mantıksal formül"

Aslında, yeterince genel bir dilbilgisi tipik mantık çıkarım kurallarını ifade edebilecektir, böylece dilbilgisi açısından doğru kelimeler tam olarak kanıtlanabilir formüller olacaktır. Bu durumda ayrıştırma ağaçlar aslında olacaktır olmak ispatları.

Ters yönde, çok genel çıkarım kurallarını düşünmeye istekliysek (mutlaka geleneksel bir mantıksal tada sahip değildir), o zaman her dilbilgisi bir aksiyom (terminaller) ve çıkarım kuralları (üretimler) sistemi olarak ifade edilebilir olacaktır. Ve bir kez daha bir ispatın ayrıştırma ağacı ile aynı olduğunu göreceğiz.

— Andrej Bauer
kaynak

Gerçekten delilleri düşünmedim. Daha çok (sınırlı) model teorisine alışkınım. Hangi setlerin bir formülün modelleri olduğunu ve hangilerinin olmadığını bulmayı önemsiyoruz. (Özellikle, bir formül için, bir kümenin bir model olup olmadığını bulmanın karmaşıklığı nedir ve kanıtlanabilir formül için, bu nedenle totolojiler için, her küme model olduğu için karmaşıklık O (1) 'dir). Ama cevabınız için çok teşekkür ederim.

— Arthur MILCHIOR

2

Analoji eklemek için: model teorisi, anlambilimin dillere ne olduğunu mantıklı yapmaktır. Model teorisi mantıksal teorilere anlam verirken anlambilim dillere anlam verir. Bazen alışık olsanız bile elma ve portakalları karıştırmamak en iyisidir.

— Andrej Bauer

7

Sadece iki açıklama. Umarım yardımcı olurlar.

Bir mantığın ve gerçeğin anlambiliminin standart tanımları, Tarski'nin formül yapısındaki tümevarımla sunumunu takip eder. Başka bir olasılık, Hintikka tarafından önerildiği gibi oyun tabanlı anlambilim vermektir. Hakikat ve tatmin edilebilirlik, bir oyundaki stratejiler açısından tanımlanır. Birinci dereceden formüller için, Tarski'nin görüşü altında bir formülün sadece Hintikka oyununda kazanan bir strateji varsa ve geçerli olduğu kanıtlanabilir.

Sorunuzu resmileştirmeye doğru, oyunun birden fazla stratejiyi kabul edip etmediğini sorabilirsiniz. Stratejilerin deterministik olup olmayacağı konusunda da ilginç bir soru var. Hintikka onların deterministik olmalarını istedi. Hintikka'nın orijinal ve Tarski'nin anlambiliminin eşdeğer olduğunu kanıtlamak için Seçim Aksiyomu gerekir. Ayrıca, daha az komplikasyona sahip, deterministik olmayan stratejilere sahip oyunlar açısından gerçeği resmileştirebiliriz.

Dil teorisi örneğiniz determinizmi, simülasyon ilişkilerini ve dil kabulünü akla getirdi. Otomata arasındaki simülasyon ilişkisi, tersi doğru olmasa da, diller arasında dil içermesi anlamına gelir. Deterministik otomata için iki kavram çakışır. Deterministik olmayan otomataların dil denkliğini yakalamak için simülasyon ilişkilerini 'düzgün' bir şekilde genişletmenin mümkün olup olmadığı sorulabilir. Kousha Etessami'nin k-simülasyonlarını kullanarak nasıl yapılacağını gösteren gerçekten güzel bir makalesi var ( Otomata için Polinom-Zamanla Hesaplanabilir Simülasyonlar Hiyerarşisi)). Sezgisel olarak, 'k' simülasyon ilişkisinin yakalayabileceği determinizm derecesini yansıtır. 'K', otomattaki determinizm düzeyine eşit olduğunda, simülasyon ve dil denkliği çakışır. Bu makale ayrıca k-simülasyonlarının çok yönlü modsal mantık ve birinci dereceden mantığın sınırlı değişken parçası açısından mantıklı bir karakterizasyonu da vermektedir. Tek bir tampon paketinde dil içerme, determinizm, oyunlar, modal mantık ve birinci dereceden mantık elde edersiniz.

— Vijay D
kaynak

4

Bu Andrej Bauer'un cevabı altında bir yorum olarak başladı, ama çok büyüdü.

Sonlu Model Teorisi açısından belirsizliğin açık bir tanımı olacağını düşünüyorum: $ambiguous(\phi) \implies \exists M_1,M_2 | M_1 \vDash \phi \wedge M_2 \vDash \phi \wedge M_1 \vDash \psi \wedge M_2 \nvDash \psi$

Kelimelerde, gramerinizin bir formül olarak kodlanmış, bazı formül , belki de alt formülü ile ayırt edilebilen farklı modelleri vardır . $\phi$ $\psi$ $\phi$

Bunu Andrej'in ispatlarla ilgili yanıtına Açıklayıcı Karmaşıklık ile bağlayabilirsiniz. Belirli bir modelin kodlamasının varlığı ile bunun belirli bir formülün modeli olarak uygun bir TM tarafından kabulünün kombinasyonu, bu formülde kodlanan aksiyomların ve çıkarımların (ve dolayısıyla eşdeğer bir dilbilgisinin) tutarlı olduğunun bir kanıtıdır.

Bunu Andrej'in cevabı ile tamamen uyumlu hale getirmek için, modelin, tüm olası sonlu modellerin (veya bunun gibi bir şeyin) üzerinde filtreleme yapan formül tarafından, kodlamanın ve filtrelemenin eylemiyle "üretildiğini" söylemelisiniz. giriş modelinde "kanıt" olarak. Belirgin kanıtlar daha sonra belirsizliğe tanıklık eder.

Bu popüler bir duygu olmayabilir, ancak sonlu model teorisi ve ispat teorisini farklı açılardan görülenle aynı düşünme eğilimindeyim. ;-)

— Marc Hamann
kaynak

ϕ

$\phi$

Evet, bu bir "formül olarak" olmalıydı. Ben düzelttim. Sonlu modellerin ayırt edilmesine gelince, diğer durum, diliniz için sadece bir tane kabul edilmiş sonlu modelin olmasıdır (muhtemelen bazı izomorfizm kavramına kadar). Bu belirsizliğin tersidir.

— Marc Hamann

Sanırım bu gerçekten "belirsizlik" olurdu. Ben sadece böyle düşünmemiştim. Çoğunlukla dil söz konusu olduğunda bu gerçekten ilginç olmaz. Ama eğer mantıklıysa mantıklı bir bakış açısından

— Arthur MILCHIOR

Dil bölümünün sıkıcı olması gerektiğinden emin değilim. Bu konuda daha fazla fikrim var, ama bence bu forumun kapsamı dışına çıkacak. ;-)

— Marc Hamann

0

CS'ye uygulanan sorudan emin değilim, ancak Belirsizlik ve mantık terimini aramayı deneyin. Mantık felsefesinde, belirsizlik genellikle belirsizlikten ayrılır ( örneğin buraya bakın ) ve bence peşinde olduğunuz şey belirsizliktir (belirsizliğin sınırda vakaların olduğu terimler olarak tanımlandığı için). Bu alandaki ana kitap Timothy Williamson'ın Vagueness (aynı zamanda yukarıdaki Stanford sitesinde bibliyografyaya bakınız).

— DanielC
kaynak

1

Cevabınız için teşekkür ederim. Ama dediğin gibi, bilgisayar bilimi ile gerçekten bir ilişki görmüyorum. Özellikle, bir evren bir formülün modelidir veya değildir, burada herhangi bir belirsizlik yoktur. Bunun yerine, otomata göre belirsizlik iyi tanımlanmış bir şeydir ve bir otomatın kesin, k belirsiz veya belirsiz olup olmadığına karar vermek için bilinen bir algoritma vardır. (sadece bir çeşit otomatın üzerinde)

— Arthur MILCHIOR 31:11

Oldukça haklısın, muhtemelen bu soruya atlamam ve gizlenmeye sıkışmamalıydım. Ben sadece CS'de bir çaylağım (lisans eğitimimi mantık / bilim felsefesi ve saf matematikle bitirmek üzereyim). Yine de bilgi için teşekkürler.

— DanielC

0

Anrej ile de aynı fikirdeyim.

Bence betimleyici karmaşıklık, hesaplama gerektirmeyen bir karakterizasyon (bu onu kendi yolunda ilginç kılıyor) ve bu nedenle, resmi dil teorisinden (otomata / gramerler / ...) elde ettiğiniz hesaplama belirsizliği örnekleri oldukça farklı bir alanda görünüyor. . Açıklayıcı karmaşıklık dilleri karmaşıklık sınıflarına karşılık gelir ve sorgular (bir dilde) hesaplama problemlerine (algoritmalara değil) karşılık gelir. AFAIK sorgusunu kontrol etmenin / hesaplamanın amaçlanan bir yolu yoktur, bu nedenle hesaplama belirsizliği IMHO'yu aramıyorsanız, bu örnekler yanıltıcıdır.

— Kaveh
kaynak

Kaveh, açıklayıcı karmaşıklığın hesaplamasız karakterizasyonunun% 100 doğru olduğunu kabul ettiğimden emin değilim. Hesaplama ayrıntıları, belirli bir mantığın bir karmaşıklık sınıfını nasıl yakaladığını anlamak için çok önemlidir. Avantajı, kanıtlarınızı yaptıktan ve nasıl çalıştığını anladıktan sonra, hesaplamayı bir kenara atabilir ve standart mantıksal yöntemleri kullanarak mantıksal ayrıntılara odaklanabilirsiniz.

— Marc Hamann

Aynı söz à Mark. Tanımlayıcı karmaşıklık aynı zamanda veritabanı teorisi, bir veritabanının yapısını oluşturan bir kelime dağarcığı ve veritabanının içeriğini oluşturan teori modelleri olarak da bilinir. Bu nedenle, bir veritabanının bir formüle saygı gösterip göstermediğini hesaplayabilmemiz ve çözebilmemiz mutluluk verici.

— Arthur MILCHIOR

A C^{0}

$\mathbf{AC^0}$

F O

$\mathbf{FO}$

1

@Kaveh, biraz ince bir noktaya değiniyorum, ama önemli olduğunu düşündüğümden biri, çünkü sık sık yanlış anlaşılıyor gibi görünüyor (örneğin başarısız P = NP? Denemeleriyle). Orada olan bir temel, oldukça kaba kuvvet algoritması altında yatan mantık dilin yazışma ve karmaşıklık sınıfı. Mantıkla çalışmak, bu algoritmanın ayrıntılarını her saniye düşünmenize izin vermez, ancak Fagin, Immerman, Vardi ve diğerlerinin kanıtlarının güzelliği ve dehası tam olarak bu algoritmaları tanımlamakta yatar. Onları gözden kaybeden insanlar genellikle başı belaya girer.

— Marc Hamann

1

@Kaveh, sanırım birbirimizi anlıyoruz ve alana olan saygımızı paylaşıyoruz. "Kaba kuvvet" temel algoritmalar üzerinde hafifçe tasarlanmamıştı, sadece algoritmik optimizasyon çalışması yapan birinin algoritma olarak düşünebileceğinden biraz daha soyut bir şeyden bahsettiğimizi açıkça belirtiyoruz.

— Marc Hamann