Trace Equivalence ve LTL Equivalence

LTL eşdeğeri olan ancak iz eşdeğeri olmayan iki geçiş sisteminin kolay bir örneğini arıyorum.

İz Denkliği'nin "Model Kontrol İlkeleri" (Baier / Katoen) kitabında LTL Denkliği'nden daha iyi olduğuna dair kanıtları okudum ama gerçekten anladığımdan emin değilim. Bunu hayal edemiyorum, belki farkı görselleştirebilecek basit bir örnek var mı?

Baier ve Katoen'i yakından okuyarak, hem sonlu hem de sonsuz geçiş sistemlerini düşünüyorlar. Tanımlar için bu kitabın 20. sayfasına bakın.

İlk olarak, basit geçiş sistemi :$EVEN$

Lemma: Hiçbir LTL formülü İzler ( E V E N ) dilini tanımıyor . Hatta i için c ∈ L e v e n iff c i = a dizesi . Bkz. Wolper '81 . Sen hiçbir LTL formülü ilk gösteren bu kanıtlayabilirim n "next-zaman" operatörler formu dizeleri ayırt edebilir p i ¬ p p ω için i > $L_{even} =$$(EVEN)$$c \in L_{even}$$c_i = a$$i$$n$$p^i\neg p p^\omega$$i> n$, basit bir indüksiyonla.

Aşağıdaki (sonsuz, belirli olmayan) bir geçiş sistemini dikkate . İki farklı başlangıç ​​durumu olduğunu unutmayın:$NOTEVEN$

İzleri kesin olarak .$\{a,\neg a\}^\omega - L_{even}$

Lemmaya Sonuç: o zaman E V E N ⊭ ¬ $NOTEVEN \vDash \phi$$EVEN \not\vDash \neg\phi$

Şimdi, bu basit geçiş sistemini düşünün :$TOTAL$

İzleri açıkça $\{a,\neg a\}^\omega$ .

Bu nedenle, ve T O T A L eser eşdeğer değildir. Diyelim ki LTL eşitsizdi. Daha sonra, bir parsiyel formüle sahip olacaktır φ şekilde K O , T e V e K ⊨ cp ve T O , T bir L ⊭ cp . Ama sonra, E V E N ⊨ ¬ $NOTEVEN$$TOTAL$$\phi$$NOTEVEN \vDash \phi$$TOTAL \not\vDash \phi$$EVEN\vDash \neg\phi$ . Bu bir çelişki.

Bu cevabın ilk versiyonunda aptal bir böcek yakaladığı için Sylvain'e teşekkürler.

If your LTL definition includes the "next" operator, then the following applies. You have two sets of traces $A$ and $B$ . Let $b$ be any finite prefix of a trace in $B$. $b$ must also be a finite prefix of a trace in $A$, because otherwise you can convert this to a formula that is just a series of next-operators that detects the difference. Therefore every finite prefix of a $B$-word needs to be a finite prefix of an $A$-word and vice versa. This means that if $A \not= B$, there needs to be a word in $b$ so that all its finite prefixes appear in $A$ but $b$ in itself does not appear in $A$. If $A$ and $B$ are generated by finite transition systems I think this is impossible. Assuming infinite transition systems, you can define

$A = \{a,b\}^\omega$ and $B = A \setminus \{w\}$ where $w$ is e.g. the infinite word $aba^2b^2a^3b^3a^4b^4\cdots$.

Any LTL formula that holds universally for $A$ will hold universally for $B$ because $B$ is a subset of $A$. Any LTL formula that holds for $B$ also holds for $A$; for the sake of contradiction, assume not, but that $\varphi$ holds for every element of $B$ (i.e. for every element of the universe expect for the word $w$) but not for $w$. Then $\neg\varphi$ evaluates to true on $w$ but not on any other word of the universe (and LTL is closed under negation), and there is no LTL formula that can be true only for $w$ as every Buchi automaton that accepts only one infinite word must be strictly cyclic whereas $w$ is not.