Bozuk para değiştirmek için asimptotik

Verilen ile, para isimlendirilmesine ve aralığında eşit dağılmış rastgele sayılardır . Asimptotik olarak, açgözlü algoritma hangi paranın bir kısmı için bu mezhep setini kullanarak optimal değişiklik üretir? $n$ $c_1=1$ $c_2<c_3<..<c_{n}$ $[2,N]$

Cevap 3 mezhep için bilinir ; Peki ya genel durum?

ds.algorithms

— Ganesh
kaynak

4 mezhep için olasılık oluşturulması, 3 mezhep için olasılık için bir ifade sağlayan Thane Plambeck tarafından ortaya atılmıştır (OP tarafından sağlanan bağlantıya bakınız). OP bu olasılığın asimptotik davranışı hakkında daha genel bir soru soruyor. Bu belki de matematik için daha uygun olabilir.SE ve MO, etiket asimptotikleri ile. @Ganesh: TCS motivasyonunuz veya ds.algorithms etiketinin nedeni nedir?

— András Salamon

@ Andras, bu çok karmaşıklık teorisi problemidir. Örneğin, açgözlü yaklaşım zamanın% 90'ını en uygun çözüm alırsa, dinamik programlamayı unutabilir ve zamanın% 10'unu kalan en düşük çözümlere razı olabilirim. Belki bu Math. * İçin daha uygundur, ancak motivasyon TCS'de yatmaktadır. Sonunda, "doğru etiket" kaçtı - bu yüzden ds.algorithms en iyi yaklaşım olduğunu düşündüm.

— Ganesh

Bu bir cevap değil, belki de bu sizi veya başka birini doğru yönde gösterecektir.

D. Kozen ve S. Zaks tarafından, "Değişim Yapma Sorunu için Optimal Sınırlar" adlı makaleyi buldum, burada bir bozuk para değişim örneğinin açgözlü değişim yapma algoritmasının en uygun olduğu durumlar için koşullar veriyorlar. Gösterimlerini kullanacağım.

$m$
$(c_{1}, c_{2}, c_{3}, \dots, c_{m - 1}, c_{m})$ $( c_1, c_2, c_3, \cdots, c_{m-1}, c_{m} )$ $c_{1} = 1 < c_{2} < c_{3} < \dots < c_{m - 1} < c_{m}$ $c_1 = 1 < c_2 < c_3 < \cdots < c_{m-1} < c_m$ $M(x)$ $x$ $G(x)$ $x$ $M(x) \ne G(x)$ $c_{3} + 1 < x < c_{m - 1} + c_{m}$ $c_3 + 1 < x < c_{m-1} + c_m$

Bunu göstermeye devam ediyorlar

$x$ $c_3 + 1 < x < c_{m-1} + c_m$
$G (x) \leq G (x - c) + 1$ $G(x) \le G(x-c) + 1$ $c \in (c_{1}, c_{2}, \dots, c_{m})$ $c \in (c_1, c_2, \cdots, c_m )$ $G(x) = M(x)$

Bu bize bir bozuk para değişim örneğinin açgözlü olup olmadığını belirlemek için "verimli" (sahte polinom zamanına kadar) testi verir.

Yukarıdakileri kullanarak, sonuçları aşağıdaki log-log ölçeğinde çizilen kısa bir simülasyon çalıştırdım

resim açıklamasını buraya girin

$m$ $[1 \cdots N]$

$m=3$ $\frac{8}{3} N^{-\frac{1}{2}}$

p_{m} (N) \propto N^{- \frac{(m - 2)}{2}}

$p_m(N) \propto N^{-\frac{(m-2)}{2} }$

$p_m(N)$ $m$ $N$

$m$ $N$

$(1, 5, 10, 25, 50, 100, 200, 500, 1000, 2000, 5000, 10000)$ ) aynı şekilde dağılmış gibi görünmüyor. Madeni para mezheplerini oluşturmak için diğer dağıtımlara bakmak, büyük sistem sınırında önemsiz sonuçlar doğurabilir. Örneğin, bir güç yasası dağılımı ABD'dekine daha çok benzeyen para mezhepleri verebilir.

— user834
kaynak