Yer verimli “endüstriyel” dengesiz genişleticiler

24

"İyi" ve "alan açısından verimli" dengesiz genişleticiler arıyorum. Spesifik olarak, bir bipartit sol normal grafik , , , sol derecesi ile a, -expander herhangi ise en çok boyutta , belirgin komşu sayısı içinde olan en az. Olasılıklı yöntemin böyle bir grafiği ve verdiği bilinmektedir . Ancak, bir kişi $G=(A,B,E)$ $|A|=n$ $|B|=m$ $d$ $(k,\epsilon)$ $S \subset A$ $k$ $S$ $B$ $(1-\epsilon)d|S|$ $d=O(\log (n/k)/\epsilon)$ $m=O(k \log(n/k)/\epsilon^2)$ $O(n d)$ böyle bir grafiği depolamak için boşluk. Ayrıca, grafikle ilgili bir şey yaparken maliyeti de yüksek olan bu depoya erişilmesi gerekir. İdeal olarak, açık bir yapı istiyorum. Bununla birlikte, bildiğim kadarıyla, bilinen yapılar hala yukarıdan biraz uzakta olan parametrelere ulaşır (en azından kesinlikle öyle).

Sorum şu: yukarıda belirtilenlere "daha yakın" olan ancak henüz alanından "önemli ölçüde daha az" kullanan, kesin olmayan, başka yapılar var mı? $O(nd)$

Bu üç kategoriden herhangi birinde cevaplar arıyorum: (a) teoremler (b) varsayımlar (c) gözlemler ve “bunu yaptık ve bir nevi işe yaramış gibi göründü” gibi “savaş hikayeleri”. Yani, "endüstriyel" genişleticiler iyi durumda. (A) 'dan (b)' ye ve (b) 'den (c)' ye tercih ederim, ancak dilenciler seçim yapamazlar :)

(C) tipinde bir yapı örneği. Al rasgele doğrusal karma fonksiyonları (mod ), ve her bir köşe bağlantı için . Ben ve öğrencim üzerinde bazı deneyler yaptık, ve "iyi" çalışıyor gibiydi. Bu veya ilgili yapılar hakkında herhangi bir teorem veya varsayım var mı? $d$ $h_i: [n] \to [m]$ $m$ $i$ $h_1(i) \ldots h_d(i)$

Teşekkürler!

graph-theory derandomization expanders

— Piotr
kaynak

2

Bu harika bir soru, ancak cevap yok gibi görünüyor! Hiç kimse provaların çalışmasını sağlamak için sihirli bir değnek dışındaki genişleticileri kullanıyor mu? Bazı Ramanujan grafikleri yapmanın oldukça basit olduğunu düşündüm.

— András Salamon 13:10

2

Ramanujan grafiklerinin oluşturulması nispeten kolaydır, ancak dengelidirler , yani m = n.

— Piotr

Guruswami-Umans-Vadhan inşaatına baktınız mı? Neden ihtiyacınızı karşılamadığını merak ediyorum.

— Zeyu,

10

Eickmeyer ve Grohe (2010) aday yapımı belirgin kılınan kanıtlamak: take biraz lineer bağımsız doğrusal karma fonksiyonları ve bağlantı sol köşe sağ köşe ile . Bu yapı verir Eickmeyer Grohe göstermektedir sol derecesi ile -expanders her, , bir tamsayıdır, sol köşe grubu boyutuna sahip olan , sağ köşe setinin boyutu , ve ana güçtür. karma fonksiyonları herhangi bir şekilde seçilir $d$ $h_1,\dots,h_d$ $v$ $h_1(v),\dots,h_d(v)$ $(k,\epsilon)$ $d=k(t-1)/(2\epsilon)$ $t$ $n=q^t$ $m=dq$ $q>d$ $h_1,\dots,h_d$ $t$ Bunlardan lineer bağımsızdır.

— Holger
kaynak

5

Avi Wigderson'un anketlere / görüşmelere bir göz atmanın sorunuza yardımcı olabileceğini düşündüm. İşte yeni bir konuşmanın slaytları: Expander Tutorial, Haziran 2010 . Yapılar, sayfa 40'ta başlar.

Uzay karmaşıklığı ile ilgili olarak, grafik üzerinde yapmanız gereken işlemleri belirtirseniz yardımcı olabileceğini düşünüyorum. Yanılmıyorsam, bazı yapılar logspace'deki mahalle hesaplama gibi işlemlere izin verir.

— Kaveh
kaynak