Yapıcı metrik uzaylar için sabit nokta teoremleri?

Banach'ın sabit nokta teoremi, boş olmayan bir tam metrik uzay sahipsek , o zaman eşit bir büzülme fonksiyonunun benzersiz bir sabit noktası olduğunu söyler . Bununla birlikte, bu teoremin kanıtı, seçim aksiyomunu gerektirir - Cauchy dizisini almak için yinelemeye başlamak için da keyfi bir eleman seçmemiz gerekir. . $A$ $f : A \to A$ $\mu(f)$ $a \in A$ $f$ $a, f(a), f^2(a), f^3(a), \ldots$

Yapıcı analizde sabit nokta teoremleri nasıl ifade edilir?
Ayrıca, yapıcı metrik uzaylara kısa referanslar var mı?

Sormamın nedeni, tiplerin ek olarak metrik yapı (diğer şeylerin yanı sıra) taşıdığı bir Sistem F modeli oluşturmak istememdir. Yapıcı küme teorisinde, setlerinin bir ailesini pişirebilmemiz oldukça yararlıdır , öyle ki , ürünler, üsler ve dizinli aileler altında kapatılır , bu da bir Sistem F modeli vermeyi kolaylaştırır. $U$ $U$ $U$

Benzer bir yapıcı ultrametrik alan ailesi pişirebilseydim çok güzel olurdu. Fakat yapıcı küme teorisine seçim eklemek onu klasik hale getirdiğinden, açıkçası sabit nokta teoremleri ve muhtemelen diğer şeyler hakkında daha dikkatli olmam gerekir.

— Neel Krishnaswami
kaynak

Hipotezi, yerleşik bir küme olan olarak değiştirebilirsiniz . seçmek tercih edilen aksiyomu çağırmıyorsunuz .

A

$A$

a \in A

$a\in A$

— Colin McQuillan

Seçim aksiyomu, bir "şeyler" koleksiyonu olduğunda ve her "şey" için bir öğe seçtiğinizde kullanılır. Koleksiyonda sadece bir şey varsa, bu seçim aksiyomu değildir. Bizim durumumuzda sadece bir metrik alanımız var ve içinde bir nokta "seçiyoruz". Yani bu seçim aksiyomu değil, varoluşsal niceleyicilerin ortadan kaldırılması, yani, hipotezimiz var diyoruz ve "diyelim gibi ". Ne yazık ki, insanlar sık sık " $\exists x \in A . \phi(x)$ $x \in A$ $\phi(x)$ $x \in A$ "olarak adlandırılır. $\phi(x)$

Referans olarak, burada Banach'ın sabit nokta teoreminin yapıcı bir kanıtıdır.

Teorem: Yerleşik bir tam metrik uzaydaki bir daralmanın benzersiz bir sabit noktası vardır.

Kanıt. Diyelim ki yerleşik bir tam metrik uzay ve bir kasılmadır. Çünkü daralma olduğu vardır şekilde ve her için $(M,d)$ $f : M \to M$ $f$ $\alpha$ $0 < \alpha < 1$ $d(f(x), f(y)) \leq \alpha \cdot d(x,y)$ $x, y \in M$ .

ve sabit noktası olduğunu varsayalım . Sonra , bunu izler. $u$ $v$ $f$

d (u, v) = d (f (u), f (v)) \leq α d (u, v)

$d(u,v) = d(f(u), f(v)) \leq \alpha d(u,v)$

, dolayısıyla

. Bu,

en fazla bir sabit noktasıolduğunu kanıtlar.

0 \leq d (u, v) \leq (α - 1) d (u, v) \leq 0

$0 \leq d(u,v) \leq (\alpha - 1) d(u,v) \leq 0$

d (u, v) = 0

$d(u,v) = 0$

u = v

$u = v$

f

$f$

Sabit bir noktanın varlığını kanıtlamaya devam ediyor. Çünkü yaşadığı vardır . dizisini özyineli olarak tanımlayın İndüksiyonla olduğunu kanıtlayabiliriz . Bundan sonra $M$ $x_0 \in M$ $(x_i)$

x_{i + 1} = f (x_{i}) .

$x_{i+1} = f(x_i).$

d (x_{i}, x_{i + 1}) \leq α^{i} \cdot d (x_{0}, x_{1})

$d(x_i, x_{i+1}) \leq \alpha^i \cdot d(x_0, x_1)$

bir Cauchy dizisidir. Çünkü

tamamlandığında, sekans, bir sınır vardır

. Yana

bir daralma, bir muntazam sürekli ve bu yüzden dizilerin sınırları ile değiştirilirse:

(x_{i})

$(x_i)$

M

$M$

y = lim_{i} x_{i}

$y = \lim_i x_i$

f

$f$

Dolayısıyla

sabit bir

noktasıdır. QED

f (y) = f (lim_{i} x_{i}) = lim_{i} f (x_{i}) = lim_{i} x_{i + 1} = lim_{i} x_{i} = y .

$f(y) = f(\lim_i x_i) = \lim_i f(x_i) = \lim_i x_{i+1} = \lim_i x_i = y.$

y

$y$

f

$f$

Uyarılar:

" seç " ve " seç" dikkat ettim . Bu tür şeyleri söylemek yaygındır ve sadece sıradan matematikçilerin seçim aksiyomunun ne olduğunu ve neyin olmadığını söyleyebilmesini engelleyen karışıklığa katkıda bulunurlar. $\alpha$ $x_0$
$u$ $v$ $f$ $\lnot\lnot (u = v)$ $u = v$
$(x_i)$ $x_0$ $\exists x \in M . \top$ $x_0$ $M$
$M$ $\exists x \in M . \top$ $M$ $\lnot\forall x \in M . \bot$
$\mathrm{fix}_M$ $M$ $M$ $\forall\exists$
Son olarak, aşağıdaki sabit nokta teoremlerinin yapıcı sürümleri vardır:
- Tam kafeslerde monoton haritalar için Knaster-Tarski sabit nokta teoremi
- Tam bir metrik uzaydaki kasılmalar için Banach'ın sabit nokta teoremi
- DCpos'taki monoton haritalar için Knaster-Tarski sabit nokta teoremi (Pataraia tarafından kanıtlanmıştır)
- Alan teorisindeki çeşitli sabit nokta teoremleri genellikle yapıcı kanıtlara sahiptir
- Özyineleme teoremi bir sabit nokta teoremi biçimidir ve yapıcı bir kanıtı vardır
- Zincirli komple pozlardaki monoton haritalar için Knaster-Tarski sabit nokta teoreminin yapıcı bir kanıt olmadığını kanıtladım. Benzer şekilde, zincir tamamlanmış pozlar üzerindeki aşamalı haritalar için Bourbaki-Witt sabit nokta teoremi yapıcı bir şekilde başarısız olur. Daha sonraki için karşı örnek etkili topos'tan gelir: etkili topos ordinallerinde (uygun şekilde tanımlanmış) bir set oluşturur ve halef haritaları ilerleyicidir ve sabit noktaları yoktur. Bu arada, ordinaller üzerindeki halef haritası etkili toposlarda monoton değildir .

Şimdi bu sizden daha çok bilgi.

— Andrej Bauer
kaynak

Metrik uzayların aksiyomlarının yeniden formüle edilmesi gerekiyor mu?

— Neel Krishnaswami

bu yine güzel bir cevap, Andrej!

— Suresh Venkat

@Neel: Hayır, aksiyomlar klasik durumdakiyle aynıdır.

— Andrej Bauer

f i x

$\mathrm{fix}$

f i x

$\mathrm{fix}$

f i x

$\mathrm{fix}$

f i x

$\mathrm{fix}$

f i x = λ M . λ f . f ({f i x}_{M} (f))

$\mathrm{fix} = \lambda M . \lambda f . f(\mathrm{fix}_M(f))$

M

$M$

f

$f$

M

$M$

M

$M$