ZFC den bağımsız Teorik CS Sonuçları

Teorik bilgisayar bilimi ve matematik arasındaki sınır çizgisini ayırt etmek her zaman kolay olmadığından oldukça belirsiz bir soru soracağım.

SORU: CS'de ZFC'den bağımsız (yani standart küme teorisi) ya da ZFC'de (+ bazı diğer aksiyomlarda) kanıtlanmış ve daha sonra ZFC alorinde kanıtlanmış herhangi bir ilginç sonucun farkında mısınız?

Soruyorum çünkü doktora tezimi bitirmek üzereyim ve ana sonucum ( olasılıksal bir hesap kuramına "oyun semantiğini" vermek için kullanılan bir oyun sınıfının belirlenmesi ) şu anda ispatlanmış durumda. ZFC diğer Aksiyomlarla genişledi (yani Continuum hipotezinin ¬ C H ve Martin Axiom M A’nın ihmali ).$\mu$$\neg CH$$MA$

Yani ayar açıkça Computer Science (modal calculus modal zamansal bir mantıktır ve olasılıksal sistemler ile çalışacak şekilde genişletiyorum).$\mu$

Tezimde bu türden (eğer farkındaysanız) diğer örnekleri belirtmek istiyorum.

Şimdiden teşekkür ederim,

Hoşçakal

Matteo

Kendi sonuçlarım dışında bu tür sonuçların farkında olmasam da, kapsamı biraz genişletip şunu sorabileceğinizi düşünüyorum: (TCS'deki (standart olmayan) aksiyomları kullanarak hangi sonuçların kanıtlandığı. Burada standart dışı olarak, ZF (veya ZFC) ile klasik mantıktan başka bir şey kastediyorum.

Aklımdaki çalışmalara güzel bir örnek, Alex Simpson'ın sentetik alan teorisi kullanarak programlama dillerinin özellikleri üzerindeki sonuçları. Sezgisel küme teorisini klasik mantıkla çelişen aksiyomlarla kullanır.

Ayrıca, Alex ve ben Banach-Mazur hesaplanabilirliği ile ilgili sonuçları göstermek için klasik süreklilik ilkeleri olan sezgisel aksiyomları kullandık.

Bununla birlikte, söz konusu örneklerin hiçbiri, kanıtlarınız gibi "açık" bir duruma sahip değildir, çünkü kullandığımız standart dışı aksiyomların, modelin var olduğu gösterilebilecek sezgisel bir matematik modeli içinde çalışmak olarak anlaşılabileceğini biliyoruz. ZFC'de. Bu yüzden standart dışı kurulum gerçekten işleri daha zarif bir şekilde yapmanın bir yoludur ve prensip olarak düz ZFC'de yapılabilir (bunun tam olarak nasıl gideceği hakkında düşünmekten korkmama rağmen).

Bu "Bilgisayar Bilimi" tanımınıza bağlıdır. Aşağıdaki örneği al - sayılır mı?

$\mathbb{N}$$C_1$$C_2$$|C_1(n)| - |C_2(n)| \rightarrow -\infty$$L$$C_1$$L$

$S$$C$$D \in S$$C$

İşte ZFC'den bağımsız iki özellik:

1. Bir kod ölçeği var.
2. Bir ölçek monoton kod ölçeği vardır (yani tüm monoton kod kümesinde kofinal olan düzenli bir monoton kod kümesi).

$D$$b \in D$$c$$b \leq_T c$$c \in D$

Turing derece belirleme ifadesi :

Her Turing derecesi kümesi, bir koni içerir veya bazı konilerden ayrılır

ZF'den bağımsız olan ve ZFC ile uyumsuz olan determinasyon aksiyomunun (AD) bir sonucudur. Zayıf ifade

Turing eşdeğeri altında kapatılan her Borel grubu, bir koni içerir veya bir koniden ayrılır

Martin’in ZFC’de kanıtlanabilir olan Borel’in belirlenmesi konusundaki teoreminin bir sonucudur. Bu ifadelerin her ikisi de, Martin'in Borel'in belirlenmesi konusundaki sonucunun kanıtlanmasından önce incelenmiştir; bu sırada ZF + AD'de her ikisinin de kanıtlanabilir olduğu bilinmektedir.

$S$$b$$c \in S$$b \leq_T c$$S$$S$

Kısa süre önce, bir karşı-Büchi oyunlarının belirlenmesi için böyle bir sonuçta bir konuşmaya katıldım: Olivier Finkel , Bağlamsız Oyunların Belirlenmesi , STACS 2012, http://drops.dagstuhl.de/opus/volltexte/2012/ 3389 / pdf / 5.pdf .

Bir çok yapıcı matematik. Bağımlı olarak yazılan programlama dilleri için temel olarak kullanılan Per Martin-Löf'ün yapıcı küme teorisi konusundaki çalışmasına bakınız.