Bir grafikteki maksimum dengesizlik?

Let , bağlı bir çizge düğümü ile ve kenarları . Let Grafik, (tam sayı) ağırlığı ifade ile, grafikte toplam ağırlığı. Düğüm başına ortalama ağırlık . Bırakın , düğümünün ortalamadan sapmasını gösterir . Biz diyoruzdengesizlik düğümünün . $G$ $G = (V,E)$ $V = 1 \dots n$ $E$ $w_i$ $G$ $\sum_i w_i = m$ $\bar w = m/n$ $e_i = w_i - \bar w$ $i$ $|e_i|$ $i$

Herhangi iki bitişik düğüm arasındaki ağırlığın en fazla değişebileceğini varsayalım , yani $1$

w_{i} - w_{j} \leq 1 \forall (i, j) \in E .

$w_i - w_j \le 1\; \forall (i,j) \in E.$

Soru : Ağın ve cinsinden sahip olabileceği en büyük dengesizlik nedir ? Daha kesin olmak gerekirse, . veya ile ilgili sonuçlardan eşit derecede memnun olurum . $n$ $m$ $\vec{e} = (e_1, \dots, e_n)$ $||\vec{e}||_1$ $||\vec{e}||_2$

İçin , grafik çapı açısından bağlanmış basit bulunabilir: tüm yana sıfıra Özetle gerekir, büyük bir pozitif olup olmadığını yerde negatif olmalıdır . Dolayısıyla farklarıen azındanancak bu fark, ve düğümleri arasında en fazla grafik çapı olabilen en kısa mesafe olabilir. $||\vec{e}||_\infty$ $e_i$ $e_i$ $e_j$ $|e_i - e_j|$ $|e_i|$ $i$ $j$

Tercihen veya norm için daha güçlü sınırlarla ilgileniyorum. Sanırım grafiğin bağlanabilirliğini yansıtmak için bazı spektral grafik teorisi içermelidir. Bunu bir maksimum akış problemi olarak ifade etmeye çalıştım, boşuna. $1$ $2$

EDIT: Daha fazla açıklama. Ben ilgilenen kulüpler veya - onlar daha doğru toplam dengesizliği yansıtır olarak -norm. Önemsiz bir ilişki ve . Bununla birlikte, grafiğin bağlılığı ve bitişik düğümler arasındaki yük farkındaki kısıtlamam nedeniyle, ve normlarının çok daha küçük olması gerektiğini umuyorum. $1$ $2$ $||\vec{e}||_1 \leq n|||\vec{e}||_\infty$ $||\vec{e}||_2 \leq \sqrt{n}||\vec{e}||_\infty$ $1$ $2$

Örnek: d boyutunda hiper küp, . Çapı . Maksimum dengesizlik en fazla . Bu, -norm için bir üst sınır olarak önerilmektedir . Şimdiye kadar, bunun gerçekten elde edildiği bir durum inşa , yapabileceğim en iyi şey , bir döngüyü çizgileri boyunca bir şey . Hiperküp ve düğümlerin , , , vb. Dengesizliklerine sahip olması . Böylece, burada çarpanı kapalıdır. $n = 2^d$ $d = \log_2(n)$ $d$ $1$ $nd = n\log_2(n)$ $||\vec{e}||_1 = n/2$ $0$ $1$ $0$ $-1$ $\log(n)$ (zaten asimptotik olarak) sıkı sınırlar aradığım için zaten çok fazla düşündüğüm.

graph-theory co.combinatorics spectral-graph-theory

— Lagerbaer
kaynak

ilginç soru. özel bir uygulama var mı?

— Suresh Venkat

@ András Salamon: Düzenleme için teşekkürler. @Suresh Venkat: Ağırlığın, deneyimli yüklerini en aza indirmek isteyen tek tip boyutlu ajanların sayısını temsil ettiğini varsayalım. Onlar hareket isteyecektir için eğer . Kimse hareket etmek istemiyorsa, ona Nash dengesi diyoruz. Soru: Nash dengesinde sahip olabileceğimiz en büyük toplam dengesizlik nedir?

i

$i$

j

$j$

w_{i} > w_{i}

$w_i > w_i$

— Lagerbaer

Basit çap sınırınızın çok gevşek olduğu bir grafik örneğiniz var mı?

— mhum

kullanarak diğer iki normu önemsiz bir şekilde . Ben ilgilenen kulüpler veya - onlar daha doğru "toplam" dengesizlik yakalamak beri -norm. Soruma bir örnek ekledim.

| | \vec{e} | |_{1} \leq n | | \vec{e} | |_{\infty}

$||\vec{e}||_1 \leq n||\vec{e}||_\infty$

1

$1$

2

$2$

— Lagerbaer

Hiper küp için, tepe noktalarını Hamming ağırlıklarına göre tartarsak ne olur? Ben böyle bir şey olsun için ve bence düzenin olacak .

\sqrt{d (n - 2)} / 2

$\sqrt{d(n - 2)}/2$

l_{2}

$l_2$

l_{1}

$l_1$

n d

$nd$

— Artem Kaznatcheev

Yanıtlar:

Beri çapı ile sınırlanan , normu trivially ile sınırlı olacak aynı şekilde için, dışında, norm $|e_i|$ $d$ $\ell_1$ $nd$ $\ell_2$ (aslındanormuile sınırlıdır). $\sqrt{n}d$ $\ell_p$ $n^{1/p}d$

vaka analiz için şaşırtıcı olarak çıkıyor. $\ell_1$

$\|\vec e\|_1$ $O(n^2)$ $O(nd)$

Tam bir -ağacı için, kökleri ikiye bölerek, ayarını yaparak bir tarafa yükselip diğer tarafa yapraklar , tekrar . $k$ $w_{\text{root}} = 0$ $|e_i| = |w_i| = \log_k n$ $O(n\log_k n) = O(nd)$

Bir klik için, ağırlıkların nasıl dağıtıldığı gerçekten önemli değildir, çünkü bunların hepsi birbirinin içinde olacak ve bu yine verecektir . $1$ $O(n) = O(nd)$

Burada bahsettiğimiz şeyin ve norm, e-i ağırlıkları keyfi olarak aralıkta eşit olarak dağıtabildiğiniz sürece, sınır . $e : \mathbb{Z} \to [-d/2,d/2] \subset \mathbb{R}$ $\ell_1$ $e_i \in [-d/2,d/2]$ $O(nd)$

Bunu değiştirmenin tek yolu kitle ile oyun oynamaktır. Örneğin, zorunlu olarak dengelenmiş noktalarda, eşit uzunlukta iki yol bulunan dev bir klik gibi, birkaç dev klikiniz varsa, yalnızca (örneğin) sınırına güvenebilirsiniz. . $O(d^2)$

Bu, bir dereceye kadar genişleticiler için de geçerli olabilir, ancak emin değilim. Düzenli bir grafikte ayarladığınız ve daha sonra her sonra değerlerin artmasına izin veren bir durum hayal edebiliyorum . Ortalama muhtemelen en fazla kütleye sahip olabilir, ancak sınırı etkilemek için yeterli olup olmayacağını bilmiyorum. $w_1 = 0$

Sanırım hakkında da benzer bir neden . $\ell_2$

DÜZENLE:

Yorumlarda , problemin kısıtlamalarını ve bazı temel spektral grafik teorisini kullanarak bir (gevşek) sınırını . $\ell_2$ $O(|E|/\lambda_2(L))$

— Josephine Moeller
kaynak

Cevabını beğendim. Bununla birlikte, " ağırlıkları keyfi olarak eşit aralıklarla dağıtabildiğiniz sürece " ile ilgili bir sorunum var . Bağlanan çapın bir yere ağırlığı yerleştirmeme izin vereceği bir durum miydim, ancak grafiğin yapısı muhtemelen bu büyük pozitif ağırlığı telafi edemediğim gibi mi? İken Yani tabii olan bir üst bağlanmış, daha sıkı sınır elde etmek mümkün olurdu? Sonunda ikinci en küçük Laplacian özdeğerini veya ikinci en büyük bitişik özdeğerini (bağlantı bilgilerini kodlarken) mı kullanıyorsunuz?

e_{i} = d / 2

$e_i = d/2$

O (n d)

$\mathcal{O}(nd)$

— Lagerbaer

Peki yerleştirerek değildir sen yerleştirme, . Bu nedenle , çarpık bir varsa, ortalamanın diğer tarafında telafi eden çok sayıda küçük ağırlık olmalı veya çapa zıt olarak başka bir büyük ağırlık olmalıdır. den daha küçük bir bağ elde etmenin tek yolu, bir şekilde yapıya güvenmektir. Dediğim gibi, bunun bir genişletici için ne anlama geldiğinden emin değilim. Cevabımı ortaya koyduğum durumlar nedeniyle bunu sadece iletkenliğe göre yapabileceğinizi sanmıyorum.

e_{i}

$e_i$

w_{i}

$w_i$

e_{i}

$e_i$

O (n d)

$O(nd)$

— Josephine Moeller

Bir örnek daha vereyim. İki klikler ile dumbell grafik çok düşük iletkenlik sahiptir, ancak dengesizlik 2 ile sınırlanmaktadır

— Josephine Moeller

Yapıyla ilgili bir bağ, çok mutlu olacağım bir şey olurdu. Bu yüzden özdeğerlerden bahsettim, çünkü bağlantı özellikleri ile ilgili. Örneğin, grafiğin Laplacian matrisinin ikinci en küçük özvektörü açısından çap, ortalama yol, izoperimetrik sayı vb. Üzerinde sınırlar vardır.

— Lagerbaer

Hemen diğer örneğinizi okuyun. İzoperimetrik sayı civarında olacağından böyle bir grafiğin çok küçük ikinci en küçük Laplacian özdeğerine sahip olmasını bekliyorum .

2 / n

$2/n$

— Lagerbaer

Bağlı grafikler için, dengesizlik grafiğin çapı ile sınırlıdır. Dengesizliği sınırlamak için Biz her yeniden yazabilirsiniz olarak nerede gelen kısa yol için . Define . Biz yazabilir $|w_i - 1/n\sum_k w_k|$ $w_k$ $w_k - v_1 + v_1 - v_2 + v_2 - ... - v_k + v_k - w_i + w_i$ $w_k, v_1,...,v_k, w_i$ $w_i$ $w_k$ $w_{ki} = w_k - v_1 + v_1 - v_2 + v_2 - ... - v_k + v_k - w_i$

| w_{i} - 1 / n \sum_{k} w_{k} | = | w_{i} - 1 / n \sum_{k} (w_{k i} + w_{i}) | = | \sum_{k \neq i} \frac{w_{k i}}{n} |

$|w_i - 1/n\sum_k w_k| = |w_i - 1/n\sum_k (w_{ki} + w_i)| = |\sum_{k\neq i} \frac{w_{ki}}{n}|$

Her üst kısa yol uzunluğu ile sınırlanmaktadır için için varsayım bu her biri için . Bu nedenle, önemsiz bağlı olsun: $w_{ki}$ $i$ $k$ $w_i - w_j \leq 1$ $i,j\in E$

| w_{i} - 1 / n \sum_{k} w_{k} | \leq \frac{(n - 1)}{n} D

$|w_i - 1/n\sum_k w_k| \leq \frac{(n-1)}{n} D$

Bu aslında optimalden çok uzakta olmayabilir. Her seviyedeki düğümlerin bir önceki seviyenin ağırlığından daha yüksek bir ağırlığa sahip olduğu tam bir -ağaç olduğunu düşünüyorum . Grafiğin büyük bir kısmı en yüksek ağırlık olan . Bu nedenle, ortalama tepeye doğru eğilmelidir. As ve daha büyük olsun, beklediğim yaklaştıkça almak için dengesizliği yaklaştıkça almak gerektiği anlamına . $k$ $D+1$ $k$ $n$ $m$ $D+1$ $D$

— Nicholas Ruozzi
kaynak

Burada çizilen konstrüksiyonu, istendiği kadar yakın dengesizlik elde etmek için titizlikle yapılabilir . Soru köşe bitişik olmayan ne olur belirtmez Ancak, daha kolay bir inşaat köşe noktasına sahip bir tamamen bağlantısız grafiktir olan ağırlığı ve kilo ile diğer tüm köşe . Bu aynı zamanda maksimum dengesizliği olan ortalama ağırlığına sahiptir . Bu , yeterince büyük bir seçilerek açıkça yakın yapılabilir ve istenildiği kadar büyük yapılabilir.

D < \infty

$D<\infty$

0

$0$

0

$0$

k

$k$

k (n - 1) / n

$k(n-1)/n$

k

$k$

n

$n$

k

$k$

— András Salamon

@ András Salamon: İyi nokta. Yukarıdaki cevap verilen grafiğinin bağlı olduğunu varsayar . Bunu açıklığa kavuşturmak için düzenleyeceğim.

G

$G$

— Nicholas Ruozzi

Aklımda olan şey buydu, sorumu "bağlantılı" kısıtlamayı ekledim. Bu sorunun cevabı üzerinde bir sınır sunuyor . Ayrıca, "en kötü" durumu istediğimde, grafiğin düzeltileceğini ve o grafik için en kötü durumu bulmaya çalışacağımı aklımda tutmuştum.

| | \vec{e} | |_{\infty}

$||\vec{e}||_\infty$

— Lagerbaer