Verimli grafik algoritmalarının tasarımı için en önemli seyreklik kavramı nedir?

12

"Seyrek grafik" ile ilgili birbiriyle çelişen birkaç kavram vardır. Örneğin, yüzeye gömülebilir bir grafik seyrek olarak kabul edilebilir. Veya sınırlı kenar yoğunluğuna sahip bir grafik. Veya yüksek çevresi olan bir grafik. Büyük genişleme içeren bir grafik. Sınırlı treewidth ile bir grafik. (Rastgele grafiklerin alt alanında bile, seyrek olarak adlandırılabilecek şey için biraz belirsizdir.) Et cetera.

Etkili grafik algoritmalarının tasarımı üzerinde en çok hangi "seyrek grafik" kavramı etkili olmuştur ve neden? Benzer şekilde, ne "yoğun grafik" kavramı? (Not: Karpinski, bir standart yoğun grafik modeli için yakınlaştırma sonuçları üzerinde çok çalıştı.)

J. Nesetril'in (P. Ossona de Mendez ile birlikte) birleşik (asimptotik) bir çerçevede grafiklerdeki ihtişam ölçülerini yakalamak için yaptığı bir program hakkında bir konuşma gördüm. Benim sorum - evet, belki de öznel ve farklı kamplar bekliyorum - algoritmalarda sparlite kullanımı konusunda çok yönlü bir bakış açısı yakalama arzusu (ve konuyu kendi anlayışımdaki boşlukları tıkama).

— RJK
kaynak

Sizce tam bir grafik de seyrek mi? Tüm grafikler geniş bir genişlemeye ve sınırlı bir genişliğe sahiptir.

— Yoshio Okamoto

@Yoshio Okamoto: iyi bir nokta - sanırım treewidth orada daha iyi bir seçim olurdu ...

— RJK

6

Bahsettiğiniz J. Nesetril ve P. Ossona de Mendez'in programı artık bir kitap .

— vb le

16

Herhangi bir makul standartta n × n × n üç boyutlu bir ızgara grafiğinin seyrek olarak düşünülmesi gerektiğini düşünüyorum ve bu, yüzey düğünlerini veya küçükleri içeren çoğu aday tanımlamayı dışlamaktadır. (Bununla birlikte, alt doğrusal trewidth hala mümkün olacaktır.)

Şu anki favori sparite ölçüt dejenerasyon . Bir grafiğin dejenerasyonu, grafiğin köşelerinin tüm doğrusal sıralamaları üzerinde, her bir kenarın siparişteki önceki kenarlardan sonraki köşelere yönlendirilmesiyle oluşturulan grafiğin yönlendirilmiş asiklik yönündeki maksimum çıktının minimumdur. Eşdeğer olarak, tüm altgraflarda, altgraftaki minimum derecenin maksimumudur. Örneğin, düzlemsel grafikler beş dejenerasyona sahiptir, çünkü düzlemsel bir grafiğin herhangi bir altgrafının derecesi en fazla beş derecedir. Dejenerasyonun doğrusal zamanda hesaplanması kolaydır ve tanımdan gelen doğrusal sıralama algoritmalarda yararlıdır .

Dejenerasyon, arborisite, kalınlık ve herhangi bir alt grafiğin maksimum ortalama derecesi dahil olmak üzere diğer bazı standart önlemlerin sabit bir faktörü içerisindedir, ancak bunların kullanılması daha zordur.

— David Eppstein
kaynak

Bu oldukça hoş bir cevap. Izgaralar gibi görünen basit yapıların seyrek grafikler hakkında düşünürken genellikle yaramazlıklara neden olabileceğini vurgular. (Sanırım grid küçüklerinin Robertson-Seymour teorisi için ne kadar önemli olduğu göz önüne alındığında çok şaşırtıcı değil.) Treewidth dinamik programlama için dejenerasyonun açgözlü algoritmaya olduğunu söylemek adil olur mu? Ya da belki iyi düzenler anlamına gelen seyreklik önlemleri hakkında söylenecek daha çok şey var, örneğin yol genişliği?

— RJK

@RJK: Bu argümanı aşırı, 3-düzenli düzlemsel ızgaraların (altıgen ızgaralar / duvar grafikleri) sınırsız treewidth var, ancak yaklaşık olarak seyrek olabilir.

— András Salamon

@Andras: Tabii, ama seyrek olmayan küçük trewidth bir grafiğe ne dersiniz? Bu (tek yönlü) anlamda, treididitenin de bir seyreklik ölçüsü olarak nitelendirildiğini düşünüyorum.

— RJK

k

$k$

n

$n$

k

$k$

Ω (\log n)

$\Omega(\log n)$

Θ (\log n / \log \log n)

$\Theta(\log n/\log \log n)$

8

Çok sayıda "iyi" seyreklik nosyonu var gibi gözükmektedir, fakat model teorik bir tada sahip olan bu yapısal sparitite nosyonları için bir hiyerarşi vardır. Bunların verimli grafik algoritmaları üzerinde güçlü bir etkisi olduğunu düşünüyorum.

$k$ $K_{k+2}$

Anuj Dawar'ın Kasım 2010'daki ders notları, yerel olarak sınırlandırılmış treewidth'i de tartışıyor; bu, dışlanmış çocuklarla karşılaştırılamaz. Sınırlı derece, seyrek grafikleri açıkça tanımlar ve bu tür grafikler, yerel trewidth'i sınırlandırmıştır, ancak bir dizi hariç tutulan küçükler tarafından tanımlanamaz.

Sınırlı derecenin etkisi açıktır: genellikle zor bir sorunu izlenebilir hale getirmek için gösterilen ilk kısıtlamalardan biridir, örneğin Luks'ın sınırlı derece grafikler üzerindeki Grafik İzomorfizmi algoritması. Bir minörü hariç tutmanın etkisi de, en azından sınırlı üçlü genişlik kisvesi altında açıktır (Suresh'ün işaret ettiği gibi).

Küçük bir geneli yerel olarak dışlama kavramı, hem yerel olarak sınırlandırılmış trewidth'i hem de dışlanan küçükleri genelleştirir, böylece hiyerarşide "en genel" sınıfı oluşturur. Bununla birlikte, bu algoritmanın pratik algoritmalarda nasıl kullanılacağı henüz açık değildir. Bir reşit olmayanı dışlamak için "izlenebilir" durumun bile iyi pratik algoritmaları olması gerekmez; model-teorik algoritmalarda büyük sabitler bulunmaktadır. Umarım bu sınıflardan bazıları uzun vadede pratik olarak etkili algoritmalara sahip olacaktır.

Ayrıca cevabım için küçük hariç tutulan grafikler için ne kolay? daha fazla ilgili yorumlar için.

— András Salamon
kaynak

6

Etkili algoritmaların tasarımını sınırlı treididth ve genel olarak bidimensionality kadar etkisi olan herhangi bir grafik özelliği düşünemiyorum.

— Suresh Venkat
kaynak

1

Merhaba Suresh: Bu, başlık sorusuna "doğru" cevap olduğunu söyleyebilirim, ancak yayınınızı biraz etmeyi ister misiniz? Bunun temel şeyler olduğunun farkındayım, ama zaten bir genişlik kavramının (uçurum genişliği) geçerliliğini seyrek grafiklere aşırı genişletme hatasını yaptım.

— RJK

1

Bir grafiği bir bitişiklik matrisi olarak düşünebiliriz - matris sparsitesi için (örneğin, sıfır girişlerin% 'si) grafiğin kendisine dönüşebilen birkaç tanım vardır. Sıfır girişlerin yüzdesi dışında, yeniden sıralama altındaki matris bant genişliği, grafik esnekliği için iyi bir proxy olabilir (bant genişliği dejenerasyonla ilişkili gibi görünüyor).

— lynxoid
kaynak