Kuantum ve deterministik sorgu karmaşıklığı arasındaki boşluğu sınırlama

Sınırlı hata kuantum sorgu karmaşıklığı ( ) ve deterministik sorgu karmaşıklığı ( ) veya sınırlı hata rastgele sorgu karmaşıklığı ( ) arasındaki üstel ayrımlar bilinmesine rağmen , bunlar sadece belirli kısmi fonksiyonlar için geçerlidir. Kısmi fonksiyonların bazı özel yapıları varsa, bunlar aynı zamanda polinom olarak ile ilişkilidir . Ancak, çoğunlukla toplam fonksiyonlardan endişeliyim.$Q(f)$$D(f)$D ( f ) = O ( Q ( f ) 9 ) $R(f)$$D(f) = O(Q(f)^9))$

Bir de , klasik bir kağıt o gösterilmiştir ile sınırlanan toplam fonksiyonlar için, monoton toplam fonksiyonları için, ve simetrik toplam fonksiyonlar için. Bununla birlikte, bu tür fonksiyonlar için ikinci dereceden daha büyük ayrımlar bilinmemektedir (bu ayrım örneğin ile elde edilir ). Anladığım kadarıyla, çoğu insan toplam fonksiyonlar için olduğuna inanıyor . Bu varsayım hangi koşullarda kanıtlanmıştır (simetrik fonksiyonların dışında)? Toplam işlevler için kuantum sorgu karmaşıklığı açısından karar ağacı karmaşıklığına ilişkin en iyi sınırlar nelerdir?$D(f)$$O(Q(f)^6)$$O(Q(f)^4)$$O(Q(f)^2)$$OR$$D(f) = O(Q(f)^2)$

Bildiğim kadarıyla, belirttiğiniz genel sınırlar aslında en iyi bilinenlerdir. Hafif modeli değiştirme Midrijanis olan gösterilmiştir bağlı olduğu , olan tam kuantum sorgu karmaşıklığı ; ayrıca tek taraflı hata olarak bilinen daha sıkı sınırlar vardır ( bu makalenin 6. Bölümüne bakın ).Q E ( f ) $D(f) = O(Q_E(f))^3$$Q_E(f)$$f$

Daha spesifik, ama yine de genel fonksiyon sınıfları açısından , değişkenler üzerindeki tüm tekrar okuma fonksiyonlarının kuantum sorgu karmaşıklığına sahip olduğunu gösteren bir Barnum ve Saks makalesi vardır. .Ω ( $n$$\Omega(\sqrt{n})$

Bu ilerleme sınırlı olmasına rağmen, belirli fonksiyonların kuantum sorgu karmaşıklığını alt sınırlamada önemli ilerleme kaydedilmiştir ; bkz bu inceleme detayları için (veya daha yeni örneğin kağıt kanıtlıyor Reichardt, işte 'hasım '' bağlı karakterize eden kuantum sorgu karmaşıklık en genel versiyonu).

Ashley Montanaro'nun cevabını seviyorum, ancak varsayımın bilindiği bir dizi işlevi de içereceğimi düşündüm.

Genellikle ilgi çekici bir işlev kümesi, sabit boyutlu 1 sertifikaya sahip işlevlerdir. Bu sorun sınıfı, , belirsizlik, çarpışma, üçgen bulma ve sorgu karmaşıklığı ayrımlarına sahip olduğu gösterilen birçok diğer sorunu (HSP ailesinde değil) içerir.$OR$

Sabit boyutlu 1 sertifika toplam fonksiyonu için .D ( f ) = O ( Q ( f ) 2$f$$D(f) = O(Q(f)^2)$

Detaylar:

Bir giriş için bir sertifika bitlerinin bir alt grubu olan şekilde tüm girişler , . Bu durumda , giriş için bir sertifikanın minimum boyutu ve 1 sertifika karmaşıklığı (0 sertifikası karmaşıklığı aynıdır, ancak sınırlıdır ).S ⊆ { 1 , . . . , n } y ( ∀ i ∈ $x$$S \subseteq \{1,...,n\}$$y$$(\forall i \in S \quad y_i = x_i) \rightarrow f(y) = f(x)$$C_x(f)$$x$$C_1(f) = \max_{x | f(x) = 1} C_x(f)$$f(x) = 0$

Bu olabilir göstermektedir olduğu . Daha sonra Buhrman ve de Wolf'un anketinde sunulan algoritmayı kullanarak şunu gösterebilirsiniz:$Q(f) \geq \sqrt{bs(f)} \geq 2C_0(f)/2^{C_1(f)} + 1$$D(f) \leq C_1(f)bs(f) \leq C_0(f)C_1(f)$

Dikkatinizi grafik özelliklerine kısıtlarsak, bahsettiğiniz genel sınırlara kıyasla biraz daha gelişmiş sınırlar kanıtlayabiliriz:

Bir de , klasik bir kağıt o gösterilmiştir ile sınırlanan toplam fonksiyonlar için, monoton toplam fonksiyonları için, ve simetrik toplam fonksiyonlar için.$D(f)$$O(Q(f)^6)$$O(Q(f)^4)$$O(Q(f)^2)$

İlk olarak, 6. güç sınırının grafik özellikleri için 4. güce geliştirilebileceğini düşünüyorum. Bu, herhangi bir grafik özelliğinin en azından sorgu karmaşıklığına sahip olduğunu gösterdikleri [1] 'den kaynaklanır ; burada , köşe sayısı bakımından ikinci dereceden olan girdi boyutudur. Tabii ki klasik sorgu karmaşıklığı en fazla .$\Omega(N^{1/4})$$N$$N$

Monoton toplam fonksiyonlar için 4. güç bağlı, monoton grafik özellikleri için 3. güce geliştirilebilir. Bu, tüm monoton grafik özelliklerinin kuantum sorgu karmaşıklığına yayınlanmamış bir Yao ve Santha gözleminden kaynaklanmaktadır .$\Omega(N^{1/3}\log^{1/6}N)$

[1] Sun, X .; Yao, AC .; Shengyu Zhang, "Grafik özellikleri ve dairesel fonksiyonlar: kuantum sorgu karmaşıklığı ne kadar düşük olabilir?", Hesaplamalı Karmaşıklık, 2004. Bildiriler. 19. IEEE Yıllık Konferansı, cilt, no., S.286.293, 21-24 Haziran 2004 doi: 10.1109 / CCC.2004.1313851

[2] Frédéric Magniez; Santha, Miklos; Szegedy, Mario (2005), "Üçgen problemi için kuantum algoritmaları", Onaltıncı yıllık ACM-SIAM Kesikli algoritmalar sempozyumu, Vancouver, Britanya Kolumbiyası: Endüstri ve Uygulamalı Matematik Topluluğu, s. 1109-1117, arXiv: quant -fenil / 0.310.134.

2015 yılında bu konuda çok ilerleme kaydedilmiştir.

İlk olarak, içinde arXiv: 1506,04719 [cs.CC] yazarlar toplam fonksiyonu göstererek karesel ayırma geliştirdik ile$f$

Öte yandan, arXiv: 1512.04016 [quant-ph] 'da , kuantum ve deterministik sorgu karmaşıklığı arasındaki ikinci dereceden ilişkinin, fonksiyonun alanı çok küçük olduğunda devam ettiği gösterilmiştir.