Bağlam.
Pauli stabilizatör gruplarını kullanarak Gottesman-Knill teoremi gibi konular üzerine yazıyorum , ancak d boyutlu boyutlarda - d'nin birden fazla asal faktöre sahip olabileceği durumlarda . (Bunu vurgularım çünkü "daha yüksek boyutlarda" dengeleyici formalizm hakkındaki literatürün büyük çoğunluğu d üssü veya d üssü bir vakayı içeriyor ve sonlu alanları kullanıyor; bunun yerine döngüsel grupları ℤ d olarak düşünüyorum .)
Herhangi bir boyut için, bir (Pauli) stabilizatör grubunu, her operatörün +1 eigenspace'e sahip olduğu Pauli grubunun abelya alt grubu olarak karakterize ederim .
Ben d = 2 için iyi bilinen bir sonuç hakkında yazıyorum (ve kolayca d prime genelleştirilmiş ):
Bir stabilizatör grubu, sadece ve eğer maksimumsa benzersiz bir saf durumu stabilize eder
maksimallikle, herhangi bir uzantının Pauli grubunun dışında ya da abelyan olmadığı veya +1 özdeğerleri olmayan operatörler içerdiği anlamına gelir.
Bu sonuçların Belgeleri d asal genellikle ℤ gerçeğine dayanmaktadır d 2n bir vektör alanıdır ( yani ℤ bu d bir alandır): Bunun için geçerli değildir d kompozit. İki rücu vardır: mevcut kanıtları sıfır bölücülerin varlığına karşı sağlam bir şekilde genelleştirin ( örneğin , Smith normal formu gibi araçlar kullanarak ) veya sayı teorisinden tamamen kaçının ve Pauli operatörlerinin diklik ilişkileri gibi fikirleri kullanın.
Sorun.
Aslında bu sonucun kısa bir kanıtı var, esasen Pauli operatörlerinin diklik ilişkilerinden daha fazlasını kullanmıyorum. Ama daha önce böyle bir şey gördüğümden şüpheleniyorum ve eğer yapabilirsem önceki sanata değinmek istiyorum (kullandığımdan daha iyi teknikler olup olmadığından bahsetmiyorum; ).
Kesinlikle Knill'in makaleleri [quant-ph / 9608048] ve [quant-ph / 9608049] benzer konuları ele alır ve benzer teknikleri kullanır; ama aradığım sonucu bulamadım, ya da Gottesman'da [quant-ph / 9802007] . Birisinin beni böyle bir kanıtın daha önce yayınlanmış olabileceği yere yönlendirebileceğini umuyorum.
Not - düşündüğüm sonuç , grubun kardinalitesini stabilize alanın boyutuyla ilişkilendiren bir sonuç değildir (bu güzeldir, ancak hem kanıtlamak hem de referans bulmak için önemsizdir); Özellikle genişletilemeyen herhangi bir stabilizatör grubunun benzersiz bir durumu stabilize ettiğini göstermekten endişe duyuyorum . Herhangi bir maksimum dengeleyici grubun aynı kardinaliteye sahip olduğuna dair bir kanıt referansı iyi olacaktır; ancak yine, d asal veya n d 2n bir vektör uzayı olmasına güvenmemelidir .