Turing Makinesi ve Lambda matematiği arasındaki ilişki?

49

Turing Makinesi ile Lambda hesabı arasında bir ilişki var mı - yoksa aynı zamanda ortaya çıkmışlar mıydı?

computability lambda-calculus turing-machines

— Şahin göz
kaynak

7

Sorunuzu detaylandırabilir misiniz? Her iki model de aynı hesaplama gücüne sahip (her ikisi de özyinelemeli fonksiyonlar ailesini ifade edebiliyor), yani Turing tamamlandı. Bakınız: en.wikipedia.org/wiki/Turing_completeness

— Joel Rybicki

ilgili: Gerçekleştirilebilirlik teorisi: Lambda matematiği ve Turing Makineleri arasındaki güç farkı

— Kaveh

Bu güzel bir soru!

— Tayfun,

31

Lambda matematiği Turing'in makine modelinden daha eskidir, görünüşe göre 1928-1929 (Seldin 2006) dönemine aittir ve kilisenin geliştirdiği temel bir mantık için ihtiyaç duyduğu şematik bir işlev kavramını benimsemesi için icat edilmiştir. Hesaplanabilir fonksiyonun genel kavramını yakalamak için icat edilmedi ve aslında daha zayıf bir sürüm daha iyi bir amaca hizmet etti.

Turing'in tamamlandığı ortaya çıkmış olan matematiğin kilisesinin, Turing'in tamamlandığı ortaya çıkmış gibi görünmektedir, ancak daha sonra Kilise lambda matematiğini , Turing'in makalesinde hitap ettiği etkili hesaplanabilir fonksiyonlar (1936) olarak adlandırdığı şeyin temeli olarak kullanmıştır. .

Church'ün basit tip teorisi (1940), üst düzey mantığın sözdizimini ifade etmek için yeterli olan ancak tüm özyinelemeli fonksiyonları ifade etmeyen, daha ılımlı, yazılı bir fonksiyon teorisi sunmaktadır. Bu teori, Church'un orijinal motivasyonuyla daha uyumlu olarak görülebilir.

Referanslar

Kilise (1936). Temel sayı teorisinde çözülemez bir problem. Amerikan Matematik Dergisi 58: 345-363.
Kilise (1940). Basit tip teorisinin bir formülasyonu . Sembolik Mantık Dergisi 5 (2): 56-68.
Seldin (2006). Köri ve Kilise mantığı . In Mantık Tarihi El Kitabı, vol.5: Mantık Russell'dan Kilisesi'ne , s. 819-874. Kuzey Hollanda: Amsterdam

Not Bu cevap, Kaveh ve Sasho'nun itirazları nedeniyle büyük ölçüde revize edildi. Kaveh'in önerdiği Vikipedi zaman çizelgesini , seminal makalelerden bazı alıntılar içeren Kilise Tarihi Turing tezi olarak önerdim.

— Charles Stewart
kaynak

2

Church, Lambda calculus'un Turing'in makalesinden önce hesaplanabilir fonksiyonun sezgisel gösterimini yakaladığını iddia etti, bu yüzden buna Kilise Tezi adı verildi. Hesaplanabilir fonksiyonların genel kavramını yakalama fikri daha da geriye gider (örneğin, Godel'in genel özyinelemeli işlevleri) ve Church onu yakalamaya çalışıyordu.

— Kaveh

5

Bence modellerin eşdeğerliğinin tamamen tesadüf olduğunu söylemek yanıltıcıdır. Bana göre, Church ve Turing, kavramların aslında ilgili olduğu hemen belli olmasa bile, ilgili kavramları yakalamak için yola çıktılar. Riemann entegrasyonunun ve farklılaşma karşıtlığının yakından ilişkili olmasının “tam kaza” olduğunu söyleyebilir misiniz?

— Sasho Nikolov

@Kaveh: Seldin'e göre (2006) Church and Curry mantığı , lambda matematiğinin amaçları ve sözdizimi, 1928-1929 yılları arasında, kilisenin özyinelemeli fonksiyonun genel nosyonunu bilmeden önce geliştirildi. Cevabım bir zaman çizelgesinden faydalanabilir, ancak şu anda bunu birleştirecek vaktim yok.

— Charles Stewart

1

@ Charles: Kilise 1927-1928 yılları arasında Göttingen'deydi. Özyinelemeli fonksiyon teorisi ve Hilbert'in programı hakkında neler olup bittiğinin farkındaydı. Ackermann'ın ilkel olmayan özyinelemeli bir işlev hakkındaki sonucu aynı yıldandır. Kilise matematik için bir temel oluşturmaya çalışıyordu. Bunların hepsi Turing'in gazetesinden önce oldu. Bkz bu . Kleene, Turing'in çalışmasından önce genel özyinelemeli fonksiyonların ve tanımlanabilir fonksiyonun denkliğini kanıtladı . Son paragrafınız yanıltıcıdır, çünkü onlar oldukları hissini verir

λ

$\lambda$

— Kaveh

1

@Charles, yazdığım gibi, Church'ün orijinal motivasyonunun bir temel oluşturmak (Frege'nin sistemi gibi bir şey) (AFAIK) olduğuna katılıyorum, ama aynı zamanda Turing'in çalışmasından önce hesaplama modeli olarak değerlendirdi. Cevabın silinmesi gerektiğini sanmıyorum, ikinci paragrafı gözden geçirmek bunu iyi yapmalı. (yorumlamamın nedeni, son zamanlarda insanların Kilise'nin çalışmasının hesaplanabilirliğini zayıflattığını hissediyorum.)

— Kaveh

26

Lambda matematiği ve Turing makinelerinin her ikisi de aynı sınıf-teorik fonksiyon sınıfını hesaplarken, akla gelebilecek her şekilde tam olarak aynı olmadıklarını belirtmek isterim. Örneğin, gerçekleştirilebilirlik teorisinde bir Turing makinesi tarafından gerçekleştirilebilen ancak lambda matematiği tarafından gerçekleştirilemeyen ifadeler vardır. Böyle bir açıklama, resmi bir Kilise tezidir;

\forall f : n a t \to n a t \exists e \forall n \exists k (T (e, n, k) \land U (k, f (n)))

$\forall f : \mathbf{nat} \to \mathbf{nat} \ \exists e \ \forall n \ \exists k \ \big( \mathbf{T}(e, n, k) \land \mathbf{U}(k,f(n)) \big)$

İşte , Kleene'nin T ifadesidir . Bu ifade için bir gerçekleştirici , ( ) göstergesini ( ) temsilini kabul eden ve istenen özelliğe sahip bir çıktı ( gösterimi ) olan bir programı olacaktır . Turing makinesi modelinde harita Turing makinesinin kodu ile temsil edilir değerlerini hesaplar program çok, kimliği fonksiyonunun sadece (işlem Turing makinesinin kod). Bununla birlikte, eğer lambda matematiğini kullanırsak, o zaman , bir fonksiyonunu temsil eden bir lambda teriminden bir Turing makinesini temsil eden bir sayı hesaplamalıdır. $\mathbf{T}$ $c$ $f$ $e$ $f$ $f$ $c$ $c$ $f$ . Bu yapılamaz (ayrı bir soru olarak sorarsanız nedenini açıklayabilirim).

— Andrej Bauer
kaynak

4

Şimdi işaretlememiz var .

T_{E} X

$T_EX$

— András Salamon

Andrej, Wikipedia makalesi kullandığınız parametrelerin farklı sıralamasını kullanıyor, ikinci argüman girdi, üçüncüsü ise hesaplama durdurma kodu, ilk argüman makinenin kodu. Sanırım BT'yi söylüyorsunuz, vDT88’e göre düzenlemiştim.

— Kaveh

Bir şey daha, öyle görünüyor ki Gerçek hayatın boyunca sen vermek beklentisinde ve TM kod olarak uzun dönem, ancak vermek için daha doğal olmaz olarak da bir uzun dönem ve daha sonra kimlik işlevi çalışacak ? (İsterseniz ayrı bir soru olarak sorabilirim.)

f

$f$

λ

$\lambda$

f

$f$

λ

$\lambda$

— Kaveh

@Kaveh: Bunun diğer yol olduğunu düşünüyorum, ama aynı zamanda lambda hesabı durumunda girdiyle aynı tür bir çıktıya sahip olmanın neden doğal olmadığını da merak ediyorum.

— Abel Molina

1

"Her sürekli" ifadesi için gerçekleyici gibi bir şey yapar mı? Veya "Cantor alanı ve Baire alanı homeomorfik" için bir realizer hakkında ne düşünüyorsunuz ?

f : R \to R

$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$

2^{N}

$2^\mathbb{N}$

N^{N}

$\mathbb{N}^\mathbb{N}$

— Andrej Bauer

11

Hem matematiksel hem de tarihsel olarak ilişkilidirler.

Lamda matematiği 1928 - 1929'da Alonzo Kilisesi (1932'de yayınlandı) tarafından geliştirilmiştir.

Turing makinesi, 1935 - 1937'de Alan Turing (1937'de yayınlandı) tarafından geliştirilmiştir.

Alan Turing Alonzo Kilisesi'nin Doktorasıydı. 1936 - 1938 arasında Princeton'da okudu.

Turing makineleri ve lambda matematiği hesaplama gücü ile aynıdır: her biri diğerini verimli bir şekilde simüle edebilir.

— Matt Might
kaynak

6

Entscheidungsproblem , matematikçi David Hilbert tarafından öne sürülen 23 ünlü sorundan biri.

Sırasıyla 1936 ve 1937'de Alonzo Kilisesi ve Alan Turing, aritmetik olarak yapılan ifadelerin doğru mu yanlış mı olduğuna karar vermenin imkansız olduğunu gösteren bağımsız makaleler yayınladı ve bu nedenle Entscheidungsproblem'e genel bir çözüm bulmak imkansız.

Bu, 1936'da Alonzo Kilisesi tarafından cal hesabına dayalı “etkili hesaplanabilirlik” kavramı ve aynı yıl Turing makineleri konseptiyle Alan Turing tarafından yapıldı. Daha sonra bunların eşdeğer hesaplama modelleri olduğu kabul edildi. - Wikipedia

Yani lambda matematiği ve Turing makineleri birbirleriyle yakından ilişkili değil aynı zamanda eşdeğer hesaplama modelleridir .

Ayrıca , Peter Turz'un Hesaplanabilirlikle İlgili Tarihi Belgesi ve Charles Petzold'un Turing Makinesi ile Rehberli Bir Tur: Açıklamalı Turing'i de okuyabilirsiniz . Bu kitap konuyla ilgili ilginç bilgileri ele alıyor.

— Pratik Deoghare
kaynak

4

Turing makineleri ve Lambda Calculus, algoritma kavramını yakalayan iki modeldir (mekanik hesaplama). Lambda hesabı, Kilise tarafından fonksiyonlarla hesaplamalar yapmak üzere icat edildi. İşlevsel programlama dillerinin temelidir. Temel olarak, Turing makineleri tarafından hesaplanabilen (reddedilebilen) her problem Lambda hesabı kullanılarak da hesaplanabilir. Bu yüzden, bunlar iki eşdeğer hesaplama modelidir (polinom faktörlerine kadar) ve her ikisi de herhangi bir mekanik hesaplamanın gücünü yakalamaya çalışırlar.

— Muhammed El Türkistan
kaynak