Matris doldurmanın çözünürlüğü

matrisi boyutuna sahiptir . ile arasında (tam dahil) kullanarak tam sayılar kullanarak doldurmak istiyoruz . $A$ $n \times n(n-1)$ $A$ $1$ $n$

Gereksinimler:

her sütunu bir permütasyonudur . $A$ $1, \dots, n$
İki sırası ile oluşturulan alt matrisler aynı sütunlara sahip olamaz. $A$

Soru:

Gereksinimi karşılayan matrisi doldurmak mümkün mü?

Kriptografi ile ilişkisi:

Her satır numarası bir düz metne karşılık gelir. Her sütun bir anahtara karşılık gelir. Bir anahtar enjeksiyonu tanımladığından, her sütun bir permütasyon olmalıdır. İkinci gereklilik, iki mesaj için mükemmel gizlilik sağlamaktır.

co.combinatorics cr.crypto-security coding-theory

— Cyker
kaynak

Bunu cr.crypto-security ile etiketlediğiniz göz önüne alındığında, bunun kripto / güvenlikle nasıl ilişkili olduğunu belirtebiliyorsanız soruyu geliştirir.

— Dave Clarke

Basit gözlemler: n mat4 için bu matris vardır. N≤3 için tüm permütasyonları alın. N = 4 için, tek çözüm tüm eşit permütasyonları veya tüm tek permütasyonları almaktır.

— Tsuyoshi Ito

Teşekkürler, Ito. Aslında

el ile cevap buldum . Ancak

olduğunda işler çok daha zorlaşır . Üstel patlama meydana gelir.

n \leq 4

$n \leq 4$

n \geq 5

$n \geq 5$

— Cyker

(1) Sorunun kodlama teorisi ile ilgili olduğunu düşünüyorum ve bir etiket olarak ekledim. (2) Başka bir gözlem: Sorun aşağıdaki gibi de ifade edilebilir. N × (n ^ 2) büyüklüğünde bir B matrisi bulun, öyle ki B'nin ilk n kolonunun her biri aynı sayının n tekrarı olacak ve B sorudaki koşulu 2 karşılayacak şekilde. Böyle bir B varsa, B'nin son n (n − 1) sütunlarının her biri bir permütasyon olmalıdır. Tersine, koşulları 1 ve 2 karşılayan herhangi bir A matrisi, A'nın soluna n belirtilen sütunları takarak B matrisine dönüştürülebilir.

— Tsuyoshi Ito,

Yanıtlar:

Tsuyoshi, yorumunuzda harika gözlem! Sanırım bu neredeyse sorunu çözüyor.

Aşağıdaki iki soruyu düşünün

uzunluğunda satırları var mı , böylece herhangi bir sütunda iki kez sayı görünmüyor ve her satır çifti için sütunlar tarafından verilen tüm sıralı çiftler farklı mı? $k$ $n(n-1)$
Her satır çifti için, sütunlar tarafından verilen tüm sıralı çiftlerin farklı olması için uzunluğunda satırları var mı? $k$ $n^2$

$k$ $k$ $k$ $k-1$

$1$ $n$ $\lbrace 1, 2, \ldots, n \rbrace$ $k-1$ $n$ $k-1$

$k$ $n^2$ $k-2$ $3$ $4$ $\ldots$ $k$ $j$ $i$ $j$ $i$

$n$ $n$ $n-2$ $n$ $n=6$ $k$ $k=\Omega(n^c)$ $c$ $1$

$n=6$ $k$ $6\times 6$ $n=10$ $k=4$

— Peter Shor
kaynak

n - 2

$n - 2$

n

$n$

n - 1

$n - 1$

n

$n$

n

$n$

n - 1

$n - 1$

n = 6

$n = 6$

Bu çok hoş bir bağlantı. Cevap için teşekkürler! Küçük bir nokta: Wikipedia'ya göre, n power güç için değil n power 1 dik Latin karesinin sadece n üs için değil olduğu bilinmektedir.

— Tsuyoshi Ito

@Tsuyoshi - Hata! Bunu biliyordum; Sadece yanlış söyledim. İnşaat sonlu cisimlerden gelir. Düzeltme için teşekkürler. Şimdi düzeltiyorum.

— Peter Shor

Öyle tahmin ettim. :)

— Tsuyoshi Ito

Bu kısmi bir çözümdür. Eğer n bir ana güçse böyle bir matris vardır .

F , n sırasının sonlu alanı olsun . Biz bir yapı n x n ( n olan satır ile etiketlenir-1) matrisi F sütunları (göre etiketlenmiştir, F ∖ {0}) x F Girişleri vardır ve F aşağıdaki gibi: i arasında inci satır ( a , b ) etiketli sütun ai + b ile verilir . Kelimelerde, her sütun F'de bir derece bir polinomuna karşılık gelir . Ardından her sütun, F'nin tam olarak bir kez ve hiçbir sütun birden fazla satırda eşit girişe sahip değildir, çünkü iki farklı derece bir polinomun değerleri en fazla bir noktada çakışabilir.

(Eğer Girişleri olan bir matris istiyorsanız {1, ..., n } yerine içinde F , unsurlarını yerine F ile {1, ..., n } keyfi.)

— Tsuyoshi Ito
kaynak

n + 1

$n + 1$

@ Madde: Özellikle Peter'ın bu soruyu dikey Latin karelerine bağlayan cevabı verilmiş olabilir. (Feragatname: uzman olmayan görüşüme göre, dik Latin kareler, MUB'lar, kombinatoryal tasarımlar, üniter tasarımlar ve SIC-POVM'ler neredeyse ayırt edilemez.)

— Tsuyoshi Ito

Çok teşekkürler, Ito! Bu tasarım gerçekten güzel görünüyor!

— Cyker