Kuantum PAC öğrenimi

Arka fon

0'daki fonksiyonlar, derinliği devresini öğrenmek için rasgele seçilen sorguları gerektiren klasik klasik bir algoritma ile kuasipolinomiyal zamanda PAC öğrenilebilir . çarpanlara ayırma algoritması yoksa bu optimaldir [2]. Tabii ki, bir kuantum bilgisayarında nasıl faktör hesaplayacağımızı biliyoruz, bu nedenle bu alt sınır yardımcı olmuyor. Ayrıca, en uygun klasik algoritma fonksiyonun Fourier spektrumunu kullanır, böylece “beni kuantumize edin!”$AC^0$$O(2^{log(n)^{O(d)}})$$2^{n^{o(1)}}$

[1] N. Linial, Y. Mansour ve N. Nisan. [1993] "Sabit derinlik devreleri, Fourier dönüşümü ve öğrenilebilirlik", ACM 40 Dergisi (3): 607-620.

[2] M. Kharitonov. [1993] "Dağıtıma özgü öğrenmenin kriptografik sertliği", ACM STOC'93 Bildirileri, ss. 372-381.

Aslında, 6 yıl önce, Scott Aaronson öğrenilebilirliğini Kuantum Hesaplama Teorisi için On Yarı Büyük Mücadelelerinden biri olarak koydu .$AC^0$

Soru

Sorum üç kat:

1) Kuantum bilgisayarların kriptografik varsayımlar verilen klasik bilgisayarlardan daha hızlı öğrenebilecekleri doğal işlev ailelerinin örnekleri var mı?

2) Özellikle öğrenilebilirliği konusunda ilerleme kaydedildi mi? (veya biraz daha iddialı )$AC^0$$TC^0$

3) öğrenilebilirliği ile ilgili olarak , Aaronson şunları söylüyor: "kuantum bilgisayarlar, sinir ağları için en uygun ağırlıkları öğrenmede klasik bilgisayarlara göre çok büyük bir avantaja sahip olacaklar." Birisi sinir ağları ve devreleri için ağırlık güncellemesinin nasıl ilişkili olduğuna dair bir referans sağlayabilir mi? (eşik kapılarının sigmoid nöronlara benzemesi dışında)$TC^0$$TC^0$ (Bu soru zaten sorulmuş ve cevaplanmıştır )

İlk sorunuza bir göz atacağım:

Kuantum bilgisayarların kriptografik varsayımlar verilen klasik bilgisayarlardan daha hızlı öğrenebilecekleri doğal işlev ailelerinin örnekleri var mı?

Bu, tam modele ve en aza indirilen kaynağa bağlıdır. Bir seçenek, standart klasik modelin örnek karmaşıklığını (dağıtımdan bağımsız PAC öğrenimi için) kuantum örnekleri verilen bir kuantum modeli ile karşılaştırmaktır (yani, rastgele bir giriş ve karşılık gelen fonksiyon değeri yerine, algoritma sağlanır girişler ve fonksiyon değerleri üzerinde kuantum süperpozisyonu ile). Bu bağlamda, kuantum PAC öğrenme ve klasik PAC öğrenme temelde eşdeğerdir. Örnek karmaşıklığı üzerindeki klasik üst sınır ve örnek karmaşıklığı üzerindeki kuantum alt sınırı, aşağıdaki kağıt dizisiyle gösterildiği gibi hemen hemen aynıdır:

[1] R. Servedio ve S. Gortler, “Kuantum ve klasik öğrenilebilirlik arasındaki denklikler ve ayrımlar,” SIAM Journal on Computing, cilt. 02138, s. 1–26, 2004.

[2] A. Atici ve R. Servedio, “Kuantum öğrenme algoritmaları üzerindeki iyileştirilmiş sınırlar”, Kuantum Bilgi İşlem, s. 1-18, 2005.

[3] C. Zhang, “Kuantum PAC öğrenimi için sorgu karmaşıklığına ilişkin gelişmiş bir alt sınır,” Information Processing Letters, cilt. 111, hayır. 1, sayfa 40–45, Aralık 2010.

$O(n^{\log n})$

[4] N. Bshouty ve J. Jackson, “Kuantum örnek bir kehanet kullanarak homojen dağılım üzerinden DNF'yi öğrenme,” SIAM Journal on Computing, cilt. 28, hayır. 3, sayfa 1136-1153, 1998.

[5] J. Jackson, C. Tamon ve T. Yamakami, “Quantum DNF öğrenilebilirliği tekrar ziyaret edildi,” Bilişim ve Kombinatorik, s. 595-604, 2002.

[6] A. Atıcı ve R. Servedio, “Juntas Öğrenme ve Test Etme için Kuantum Algoritmaları,” Quantum Information Processing, cilt. 6, hayır. 5, s. 323-348, Eylül 2007.

Öte yandan, yalnızca standart klasik PAC modeliyle ilgileniyorsanız, bir post-işlem aracı olarak kuantum hesaplama (yani, kuantum örnekleri yok) kullanarak, o zaman Servedio ve Gortler [1] bir konsept sınıfının Blum tamsayı çarpanlarının sertliği varsayılarak klasik PAC olarak öğrenilemeyen, ancak Shor'un algoritması kullanılarak öğrenilen kuantum PAC olabilen Kearns ve Valiant'a.

Üyelik sorguları yoluyla Angluin'in kesin öğrenme modeli için durum biraz benzer. Kuantum sorguları, sorgu karmaşıklığı açısından yalnızca polinom hızlandırması verebilir. Bununla birlikte, tek yönlü işlevlerin var olduğu varsayılarak zaman karmaşıklığında üstel bir hızlanma vardır [1].

İkinci soru hakkında hiçbir fikrim yok. Bununla ilgili daha çok şey duymaktan memnuniyet duyarım.

Bu kesinlikle sorunuza tam bir cevap değil, ama umarım ilk kısımda yardımcı olur. Bilinmeyen kehanetleri tanımlamak için kuantum algoritmalarını kullanmak oldukça ilgi çekiyor gibi görünüyor. Bunun bir örneği, Floess, Andersson ve Hillery'den ( arXiv: 1006.1423 ), Bernstein-Vazirani algoritmasını, giriş değişkenlerinin yalnızca küçük bir alt kümesine (juntas) bağlı olan Boole işlevlerini tanımlamak üzere uyarlayan yeni bir makaledir. Bu yaklaşımı düşük dereceli polinomlar için kehanet fonksiyonunu belirlemek için kullanırlar (açıkça doğrusal, kuadratik ve kübik vakalarla ilgilenirler).