Hesaplamalı topoloji, çok büyük bir araştırma grubunu kapsar . Her karmaşıklık sonucunun tam bir özeti imkansız olurdu. Ama sana küçük bir tat vermek için, örneğini genişleteyim.
1911'de, Max Dehn, sonlandırılmış gruplar için kelime problemini ortaya koydu : Jeneratör alfabesi üzerinde bir dize verildiğinde, kimlik öğesini temsil ediyor mu? Bir yıl sonra Dehn , yönlendirilebilir yüzeylerin temel gruplarındaki problem kelimesi için bir algoritma tanımladı ; Dehn, aynı şekilde, belirli bir yönlendirilebilir yüzeydeki belirli bir döngünün büzülebilir olup olmadığına nasıl karar verileceğini açıkladı. Düzgün bir şekilde uygulanmış olan Dehn'in algoritması zamanında çalışır . Aynı 1912 makalesinde Dehn, “Tüm gruplar için kelime problemini çözmek, tüm matematik problemlerini çözmek kadar imkansız” dedi.O(n)
1950 yılında, Turing, son derece sunulan yarı gruplar halinde görülen kelime probleminin , durma probleminden (sürpriz, sürpriz) azalarak kararsız olduğunu kanıtladı .
Turing'in sonucuna dayanarak, Markov 1951'de, son derece sunulan yarı grupların her türlü önemsiz özelliğinin belirlenemeyeceğini kanıtladı. Bazı grupların mülkiyeti varsa ve bazı diğer gruplarda yoksa, grupların mülkiyeti önemsizdir. Teorik bilgisayar bilimcileri kısmi fonksiyonlar hakkında "Rice Teoremi" ile benzer sonuçları biliyorlar.
1952'de Novikov, son derece sunulan gruplardaki kelime probleminin çözülemez olduğunu ve böylece Dehn'in sezgisinin doğru olduğunu kanıtladı. Aynı sonuç 1954 yılında Boone ve 1958'de Britton tarafından bağımsız olarak kanıtlanmıştır.
1955 yılında, Adyan, sınırlı sayıda sunulan grupların her türlü önemsiz özelliğinin tespit edilemez olduğunu kanıtladı . Aynı sonuç, 1956'da Rabin tarafından bağımsız olarak kanıtlandı. (Evet, bu Rabin.)
Son olarak, 1958'de Markov, grup olarak girdi olarak verilen, verilen herhangi bir temel gruba sahip 2 boyutlu hücre kompleksleri ve 4 boyutlu manifoldlar oluşturmak için algoritmalar tanımladı. Bu sonuç, derhal aşağıdakiler de dahil olmak üzere çok sayıda topolojik sorunun tespit edilemez olduğunu ima etti:
- Belirli bir 2-boyutlu kompleks içinde verilen bir döngü büzülebilir mi? (Bu kelime problemidir.)
- Belirli bir 2 kompleksi basit bir şekilde bağlanmış mı? ("Bu grup önemsiz mi?")
- Belirli bir 4-manifoldda verilen bir döngü yüklenebilir mi?
- Belirli bir 4-manifold sözleşmeli midir?
- Belirli bir 4-manifolda verilen belirli bir 4-manifold homeomorfik midir (Markov tarafından inşa edilmiştir)?
- Belirli bir 5-manifoldu 5 küreye homeomorfik midir (veya seçtiğiniz herhangi bir başka sabit 5-manifold)?
- Verilen bir 6 kompleksi bir manifold mu?
Bu sonuçların en sevdiğim sonucu daha yeni ve daha belirsiz: Verilen bir sonlandırılmış grubun 3 manifoldun temel grubu olup olmadığı belirsizdir. Perelman'ın Thurston'ın geometri varsayımına dair son kanıtı, verilen bir 3-manifoldun önemsiz bir temel gruba sahip olup olmadığını belirleyen bir algoritmanın varlığına işaret eder. Belirli bir grup halinde (@SamNead işaret ettiği gibi, Rubenstein ve Casson sonuçları üstel zamanda çalışır. Bu algoritma anlamına) , bir 3-manifoldu grubu değildir, o için, önemsiz olamaz olduğu önemsiz. Böylece, 3 manifoldlu bir grup olup olmadığına karar verebilirseniz , önemsiz olup olmadığına karar verebilirsiniz , ki bu imkansızdır.GGπ1(S3)GG