İki bölüm arasındaki mesafeyi düzenleme

iki ve aralarındaki düzenleme mesafesini arıyorum.$[1 \ldots n]$

Bu şekilde, bir düğümün A bölümünden B bölümüne gitmek için gerekli olan farklı bir gruba asgari sayıda tek geçiş bulmak istiyorum.

Örneğin mesafe {0 1} {2 3} {4}INTO {0} {1} {2 3 4}olacaktır iki

Aramadan sonra bu makaleye rastladım , ama a) Uzaktaki grupların (umursadığım bir şey) sırasını dikkate aldıklarından emin değilim b) Nasıl çalıştığından emin değilim ve c) Referans yok.

Takdir edilen herhangi bir yardım

Bu sorun, maksimum ağırlıklı iki taraflı eşleştirme sorunu olarak da bilinen atama sorununa dönüştürülebilir .

Öncelikle düzenleme mesafesinin bir kümeden diğerine değiştirilmesi gereken eleman sayısına eşit olduğuna dikkat edin. Bu, toplam eleman sayısına eksi değiştirilmesi gerekmeyen eleman sayısına eşittir. Dolayısıyla, değişmeyen minimum eleman sayısını bulmak, değişmeyen maksimum köşe sayısını bulmakla eşdeğerdir.

Let ve Bölme olarak . Ayrıca, genellik kaybı olmadan, ( nedeniyle izin verilir ). Sonra , , ..., tümü boş küme olsun. Ardından, değişmeyen maksimum köşe sayısı:$A = \{ A_1, A_2, ..., A_k \}$$B = \{ B_1, B_2, ..., B_l \}$$[1, 2, ..., n]$$k \ge l$$edit(A, B) = edit(B, A)$$B_{l+1}$$B_{l+2}$$B_k$

$\max_f \sum_{i=1}^k |A_i \cap B_{f(i)} |$

where $f$ is a permutation of $[1, 2, ..., k]$.

This is exactly the assignment problem where the vertices are $A_1$, ..., $A_k$, $B_1$, ..., $B_k$ and the edges are pairs $(A_i, B_j)$ with weight $|A_i \cap B_j|$. This can be solved in $O(|V|^2 \log |V| + |V||E|)$ time.

Look at this paper's PDF

http://www.ploscompbiol.org/article/info:doi/10.1371/journal.pcbi.0030160

The definition of edit distance in there is exactly what you need I think. The 'reference' partition would be (an arbitrary) one of your two partitions, the other would simply be the other one. Also contains relevant citations.

Best, Rob

Cranky Sunday morning idea that might or might not be correct:

Wlog, let $P_1$ be the partition with more sets, $P_2$ the other. First, assign pairwise different names $n_1(S) \in \Sigma$ to your sets $P_1$. Then, find a best naming $n_2(S)$ for the sets $P_2$ by the following rules:

• $n_2(S) := n_1(S')$ for $S \in P_2$ with $S \cap S'$ maximal amongst all $S' \in P_1$; pick the one creating the least conflicts if multiple choices are possible.
• If now $n_2(S) = n_2(S')$ for some $S \neq S'$, assign the one that shares less elements with $S'', n_1(S'') = n_2(S)$, the name of the set in $P_1$ it shares the second most elements with, i.e. have it compete for that set's name.
• If the former rule can not be applied, check for both sets wether they can compete for the name of other sets they share less elements with (they might still have more elements from some $S'' \in P_1$ than the sets that got assigned its name!). If so, assign that name to the one of $S, S'$ that shares more elements with the respective set whose name they can compete for; the other keeps the formerly conflicting name.
• Iterate this procedure until all conflicts are resolved. Since $P_1$ does not have less sets than $P_2$, there are enough names.

Now, you can consider the bit strings of your elements wrt either partition, i.e. $w_1 = n_1(1) \cdot \dots \cdot n_1(n)$ and $w_2 = n_2(1) \cdot \dots \cdot n_2(n)$ (with $n_j(i) = n_j(S), i \in S \in P_j$). Then, the desired quantity is $d_H(w_1, w_2)$, i.e. the Hamming distance between the bit strings.