Üniter operatörlerin girişlerini gerçek sayılara ve evrensel geçit setlerine sınırlama

Bernstein ve Vazirani'nin seminal gazetesi olan "Kuantum Karmaşıklık Teorisi" nde, boyutlu bir üniter dönüşümün, "önemsiz dönüşler" ve "önemsiz faz değişimleri" olarak adlandırdıkları bir ürünle verimli bir şekilde tahmin edilebileceğini gösteriyorlar.$d$

"Neredeyse önemsiz rotasyonlar", 2 boyut dışındaki tüm boyutlarda kimlik olarak hareket eden, ancak bu iki boyutun kapsadığı düzlemde bir rotasyon olarak hareket eden (yani, formun 2x2 alt matrisine sahip olan boyutlu boyutlu üniter matrislerdir):$d$

$\begin{pmatrix} \cos{\theta} & -\sin{\theta} \\ \sin{\theta} & \cos{\theta} \\ \end{pmatrix}$

bazıları için ).$\theta$

"Neredeyse önemsiz faz kaymaları", 1 boyut dışındaki tüm boyutlarda kimlik olarak hareket eden, ancak bu boyuta bazı some'lar için e i θ faktörü uygulayan boyutlu boyutsal birimsel matrislerdir .$d$$e^{i\theta}$$\theta$

Ayrıca, açının un irrasyonel bir katı olduğu göz önüne alındığında (BV, açıyı 2 π ∑ ∞ j = 1 2 - 2 j olarak ayarladığında, yalnızca bir dönme açısının gerekli olduğunu (hem dönme hem de faz kaydırma üniteleri için) gösterir. .$2\pi$$2\pi\sum_{j=1}^{\infty}{2^{-2^j}}$

Kuantum karmaşıklık teorisi üzerine müteakip makaleler (Adleman ve arkadaşları veya Fortnow ve Rogers tarafından olduğu gibi), BV sonucunun, girişleri olan üniter operatörlerle gerçekleştirilebildiğini iddia eder .$\mathbb{R}$

Bu nasıl takip eder? Önemsiz dönme matrislerinin bir ürününün size gerçek girişlere sahip üniter bir matris vereceğini anlayabiliyorum, ama faz kayması matrisleri ne olacak?

Yani, sadece matris girişlerinin olduğu önemsiz dönüşler ve faz kaydırma matrisleri yapabiliyorsanız, diğer tüm faz kaydırma matrislerine verimli bir şekilde yaklaşabilir miyiz?$0,\pm 1$

Bu çıkarımın hemen belirgin olmadığından ve bunun için doğru kanıtın Deutsch'nun Toffoli benzeri kapısının evrensel olduğuna dair kanıtlara benzeyeceğinden şüpheleniyorum - yoksa çok açık bir şeyi mi kaçırıyorum?

Orada Toffoli ve Hadamard'ın Kuantum Evrensel olduklarını Basit Kanıtı bir daha QuBit ile daha büyük bir Hilbert uzayı üzerinde gerçek genliklerinden simüle edilebilir nasıl karmaşık genlikleri ilk gösterileri Dorit Aharonov tarafından.

Sistemin durumu Hilbert alan gerçek veya sanal bir parçası, ve her bir karmaşık kapı değiştirilmesi olup "bu devre bir ilave qubit ekleyerek yapılır, durum olan gösterir işletim k onun tarafından qubits gerçek versiyonu , le belirtilen ~ u aynı çalışır, k . qubits artı ekstra quBit ~ u ile tanımlanır:$U$$k$$\tilde{U}$$k$$\tilde{U}$

$\tilde{U}|i\rangle |0\rangle = [Re(U)|i\rangle]|0\rangle + [Im(U)|i\rangle]|1\rangle$
$\tilde{U}|i\rangle |1\rangle = -[Im(U)|i\rangle]|0\rangle + [Re(U)|i\rangle]|1\rangle$

İkincisi, sadece gerçek genlikleri olan {Hadamard, Toffoli} geçit setinin evrenselliğini kanıtlıyor$\{0,1,\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\}$

Martin'in işaret ettiği makaleye ek olarak, Terry Rudolph ve Lov Grover tarafından kuantum hesaplama için 2 bir giriş kapısının evrensel olduğunu gösteren daha önceki bir makale vardı (bkz. Quant-ph / 0210187 ). Kapı tüm gerçek girişlere sahiptir ve habersiz olmanız durumunda, büyüklüklerin gerçek sayılarla sınırlı olduğu kubitlerdir. Bu iddianın kaynağı olabilir. Kağıtta açıklanan kapı, kontrollü bir Y dönüşüdür.

$G(\theta) = Y_2(\frac{\theta}{2}) CZ_{12} Y_2(\frac{\theta}{2}) CZ_{12}$