NC'nin büyük versiyonu nedir?

verimli paralelleştirilebilir fikrini yakalar ve bunun bir yorumlama zamanı içinde çözülebilir sorunlar olduğu kullanarak bazı sabitler için paralel işlemcileri , . Benim sorum, zamanın ve işlemci sayısının olduğu analog bir karmaşıklık sınıfı olup olmadığıdır. Boş bırakılan bir soru olarak: $\mathsf{NC}$ $O(\log^c n)$ $O(n^k)$ $c$ $k$ $n^c$ $2^{n^k}$

için olarak__ için $\mathsf{NC}$ $\mathsf{P}$ $\mathsf{EXP}$

Özellikle, polinomal olarak sınırlandırılmış dereceye sahip bir ağda düzenlenmiş üstel sayıdaki bilgisayarlara sahip olduğumuz bir modelle ilgileniyorum (diyelim ki ağın giriş / problemden veya en azından bir şekilde kolay yapılabilen girdilerden veya herhangi bir makul tekdüzelik varsayımından bağımsızdır. ). Her zaman adımda:

Her bilgisayar önceki zaman adımında aldığı polinom sayıdaki polinom büyüklüğündeki mesajları okur.
Her bilgisayar bu mesajlara bağlı olabilecek bazı zaman hesaplamaları yapar.
Her bilgisayar, komşularının her birine (pollength) bir mesaj iletir.

Bu tür modellere karşılık gelen bir karmaşıklık sınıfının adı nedir? Böyle karmaşıklık sınıfları hakkında okumak için iyi bir yer nedir? Böyle bir sınıf için herhangi bir problem var mı?

— Artem Kaznatcheev
kaynak

ilgili soru, sanırım: cstheory.stackexchange.com/q/2788/1037

— Artem Kaznatcheev

Elimizde

N C^{k} = A S p a c e T i m e (O (\log n), (\log n)^{k})

$NC^k = ASpaceTime(O(\log n), (\log n)^k)$

N C = A S p a c e T i m e (O (\log n), (\log n)^{O (1)})

$NC = ASpaceTime(O(\log n), (\log n)^{O(1)})$

. Tekabül eden sınıf Böylece

gibi olabilir

P = T i m e (n^{O (1)})

$P = Time(n^{O(1)})$

E X P = T i m e (2^{n^{O (1)}})

$EXP = Time(2^{n^{O(1)}})$

N C^{k}

$NC^k$

ve daha sonra karşılık gelen sınıfı

olacak

. Bu sadece bir miktar cebirsel manipülasyondur, gereksinimlerinizi karşılayıp karşılamadığını kontrol etmedim, ancak üç şartı yerine getireceğini ama katlanarak çok fazla bilgisayara sahip olmayacağını düşünüyorum. Bence bu şartı yerine getirmelisin (daha fazlası)

A S p a c e T i m e (n^{O (1)}, 2^{O (\log n)^{k}})

$ASpaceTime(n^{O(1)}, 2^{O(\log n)^k})$

N C

$NC$

A S p a c e T i m e (n^{O (1)}, 2^{(\log n)^{O (1)}})

$ASpaceTime(n^{O(1)}, 2^{(\log n)^{O(1)}})$

— Kaveh

Elde edilen sınıf

içerecek ve analoji

olarak kalmayacak .

E X P

$EXP$

N C \subseteq P

$NC \subseteq P$

— Kaveh

Eğer nereden bulduğunu anlamıyorum

olarak uzay karmaşıklığı. Bildiğim kadarıyla

polinom olarak birçok kapıya izin veriyor. Biz analog çizgisinde gitmek istiyorsanız o zaman bakmak gerekir

olarak

ve sonra ben arıyorum karmaşıklık sınıf şeydir gibi

l o g n

$log n$

N C

$NC$

N C

$NC$

P T / W K (l o g^{c} n, n^{k}) / p o l y

$PT/WK(log^c n,n^k)/poly$

. Ancak, bunun daha iyi bir karakterizasyonu olduğunu umuyordum.

P T / W K (n^{c}, 2^{n^{k}}) / p o l y

$PT/WK(n^c ,2^{n^k})/poly$

— Artem Kaznatcheev

Bu standart (Karmaşıklık Hayvanat Bahçesi'nde olmasa da) standart, örneğin, Ruzzo, "Düzgün devre karmaşıklığı hakkında", 1981'i kontrol edin. Ayrıca, tek tip sınıflarla çalışmanız gerektiğini düşünüyorum. sınırlı fan-in ve derinlik

) kullanırsak bu üç koşulu sağlayacaktır . Ve dediğim gibi, eğer katlanarak çok sayıda düğüm varsa, o zaman analoji tutmaz. Ayrıca, paralel bir hesaplama temel özelliği olarak, örneğin, zamandan tasarruf edilmektedir halinde poli-günlük zaman

. Bence polinom zamanının poli-log zamanına tekabül edeceğini düşünüyorum.

\log n

$\log n$

N C

$NC$

— Kaveh

Yanıtlar:

Ben aradığınız sınıftır inanıyoruz . Gereksinimlere uyan işlemciniz olduğunu varsayalım : $PSPACE$ $exp(n^k) = 2^{O(n^k)}$

Her bilgisayar önceki zaman adımında aldığı polinom sayıdaki polinom büyüklüğündeki mesajları okur.

Her bilgisayar bu mesajlara bağlı olabilecek bazı zaman hesaplamaları yapar.

Her bilgisayar, komşularının her birine (pollength) bir mesaj iletir.

$poly(n)$ $exp(n^k)$

$O(\log n)$ $poly(n)$ $exp(n^k)$ $PSPACE$

— Ryan Williams
kaynak

Ryan, üstel bilgisayar sayısını polinom olarak birçok katmana nasıl yerleştirdiğini bilmiyorum, bana derinlik katlanarak olabileceğini düşünüyorum, bunun neden mümkün olduğunu biraz daha açıklayabilir misiniz? Ayrıca bana bir fan-in 2 devresi olarak rastgele verilen bir fonksiyonun önemsiz CNF devresinin gereklilikleri yerine getireceği anlaşılıyor, bir şey eksik mi?

— Kaveh

@Kaveh: İlk sorunuzu anlamıyorum. İkincisi, herhangi bir fonksiyon için bir üstel boyutlu derinlik-2 devresi olmasına rağmen, NC (poli) devreleri eşit şekilde üretebilmenizi gerektirir, böylece her giriş boyutu için rastgele devreler üretemezsiniz.

— Robin Kothari

@ Robin, teşekkürler. Muhtemelen işleri karıştırıyorum. (PSpace'e karşılık gelen devrelerin derinliğinin üstel olması gerektiğini düşünüyorum, ayrıca PSpace'in L olarak P olarak EXP olduğunu düşünüyorum, bu yüzden L'nin NC ile değiştirildiği zaman aynı şeyi belirterek benim için garip olduğunu düşünüyorum. ilgilenmek PSpace ve EXP arasında olmalı.) Burada neler olduğunu anlamak için biraz daha düşünmek zorundayım.

— Kaveh

@Kaveh, katmanların sayısını (yani derinlik) üstel olmaya atadım, bu nedenle derinlik tanım olarak üstel olamaz. Üstelik birçok işlemci var, bu nedenle CNF'nizin üstel bir fan-up'a ihtiyacı olacak ve koşullardan birini ihlal edecek. PSPACE'e karşılık gelen üstel boyutlu devrelerin derinliği polinomdur. Bunun doğru olması ve her iki analojinin bir anlamda "geçerli" olmasının nedeni ("PSPACE, L için EXP'dir, P" ve "PSPACE, NC olarak EXP'dir"), PSPACE = Alternatif Polinom Zaman. L = Alternatif Logaritmik Zaman olup olmadığını bilmiyoruz (bu NC1'dir).

— Ryan Williams

Sanırım senin ve Robin'in yorumlarını okuduktan sonra durumu daha iyi anlıyorum, teşekkürler.

— Kaveh,

Ryan'ın dediği gibi, bu sınıf PSPACE. Bu sınıfa literatürde genellikle NC (poli) denir. İşte QIP = PSPACE belgesinden doğrudan alıntı :

Polinom derinliğine sahip Bool devrelerinin polinom-uzay tekdüze aileleri tarafından hesaplanabilir tüm fonksiyonlardan oluşan karmaşıklık sınıfı NC (poli) olan NC'nin ölçeklendirilmiş bir varyantını düşünüyoruz. (NC (2 ^poli ) notasyonu da daha önce bu sınıf için kullanılmıştır [11].) Karar problemleri için NC (poly) = PSPACE [10] olduğu bilinmektedir.

[10] A. Borodin. Zaman ve mekanı boyut ve derinlik ile ilişkilendirmek üzerine. SIAM Bilişim Dergisi, 6: 733-744, 1977.

[11] A. Borodin, S. Cook ve N. Pippenger. Tanınmış halkalar ve alana bağlı olasılık makineleri için paralel hesaplama. Bilgi ve Kontrol, 58: 113-136, 1983.

Bunu görmenin bir yolu, her iki kapanımı doğrudan kanıtlamaktır. NC (poli) 'nin PSPACE’de olduğunu görmek için, son geçidin çıktısını tekrarlı olarak hesaplayabileceğimizi ve sadece polinom olan devrenin derinliğine eşit boyutta bir yığına ihtiyaç duyacağımızı unutmayın. PSPACE'in NC (poli) olduğunu göstermek için, PSPACE-complete olan QBF'nin, her zamanki gibi katlanarak çok sayıda kapılı olan bir polinom derinlik devresi olarak yazılabileceğini unutmayın - var olan niceleyici, bir OR kapısıdır, forall niceleyicisi bir AND geçididir. Sadece polinom olarak birçok niceleyici olduğundan, bu bir polinom derinlik devresidir.

— Robin Kothari
kaynak