Craig enterpolantlarını hesaplamak için hangi algoritmalar biliniyor?

İnterpolantları hesaplamak için herhangi bir algoritma araştırması var mı? Sadece bir algoritmadaki kağıtlar ne olacak? En çok ilgilendiğim durum ve C = q artı enterpolantın mümkün olduğu kadar küçük olması. ( McMillan'ın 2005'ten itibaren nicelleştiricilerden kaçınırken enterpolantların nasıl alınacağını açıklayan makalesini biliyorum .)$A=\lnot p\land q$$C=q$

Arka plan: Craig interpolasyon teoremi (1957) ise söylüyor , bir bir (olup fol ) formül T A ve C arasında bir formül T C , o zaman bir formül olduğu B şekildedir ⊢ T A A → Oda ve ⊢ T Cı- B → C . Formül B a, Craig interpolant arasında A ve $\vdash_{T_A\cup T_C}A\to C$$A$$T_A$$C$$T_C$$B$$\vdash_{T_A}A\to B$$\vdash_{T_C}B\to C$$B$$A$$C$(veya alternatif tanımlarda ve ¬ C'nin ). Bir önemsiz interpolant ¬ p ∧ q ve q olduğu q , ama bir isteyen küçük bir kısmı, makul tanımı için, interpolant 'küçük' (örneğin sözdizimsel boyutu gibi). (İnterpolantların birçok kullanımı vardır ve merak ediyorsanız işte bir tane .)$A$$\lnot C$$\lnot p\land q$$q$$q$

Motivasyon: Bu, doğrulama koşulu oluşturma yoluyla (çok) artımlı program doğrulamasında yararlı olacaktır.

Himanshu Jain doktora tezi, Memnuniyet Kontrolü Kullanarak Doğrulama , Tahmin Soyutlama ve Craig Enterpolasyonu'na bir göz atın . Doğrulamadaki uygulamaları göz önünde bulundurarak birkaç temel tekniğin performansını göz önünde bulundurur ve doğrusal denklemler ve Diophantines içeren formüllerin enterpolasyonu hakkında bir bölümü vardır.

Bibel'in bağlantı yöntemi olarak bildiklerime ve Genel Eşleşmeler olarak adlandırdığı şeye özellikle bakar. Bunlar, tatmin edilebilirliğe formül çıkarımı temelli yaklaşımlardan ziyade grafik tabanlı yaklaşımlardır. Genel olarak bunlarla ilgileniyorsanız, Dominic Hughes'un oldukça kısa (11 sayfa) Sözdizimi olmayan Provalarını öneriyorum .

İlginç bir şekilde, kesme eliminasyonu ve enterpolasyon teoremi arasında bir bağlantı vardır. İlk olarak enterpolasyon teoremi, kesme eliminasyonu sırasında kullanılan karışım kuralı eliminasyonunun tersine benzemektedir. Bu eliminasyon diyor ki:

If G |- A and D, A |- B are cut-free proofs,  
then there is a cut-free proof G, D |- B

Şimdi, kesilmemiş kanıtlara dayanan bir enterpolasyon teoremi formu aşağıdaki gibi yapılabilir. Eliminasyonun baş aşağı versiyonu. G, D | - B ile başlar ve G | - A ve D, A | - B verir:

If G; D |- B is a cut free proof,  
then there is a formula A (the interpolant) 
and cut free proofs G |- A and D, A |- B,  
and A uses only propositions simultaneously from G and D

G ve D öncülleri arasına noktalı virgül koymayı amaçladım. Burası, interpolant iletmek olarak görmek istediğimiz premisses ve interpolant kullanarak hangi premiss'leri görmek istediğimiz çizgiyi çiziyoruz.

Giriş kesiksiz bir ispat olduğunda, algroithm'in çabası kesiksiz ispatın düğüm sayısı ile orantılıdır. Yani pratik bir girdi girişinde doğrusal bir yöntem. Kesimsiz ispatın her ispat adımı ile, algoritma interpolantı yeni bir bağlantının eklenmesi ile birleştirir.

Yukarıdaki gözlem, sadece enterpolantın G ve D'den eşzamanlı olarak önermelerini gerektirdiğimiz basit enterpolasyon yapısı için geçerlidir. Değişken koşulu olan enterpolantlar biraz daha fazla adım gerektirir, çünkü bazı değişken engelleme de yapılmalıdır.

Muhtemelen, kesilmemiş ispatın minimitesi ile interpolantın boyutu arasında bir bağlantı vardır. Kesimsiz tüm deliller minimum değildir. Örneğin tek tip provalar genellikle kesik olmayan provalardan daha kısadır. Düzgün kanıtlar için lemma oldukça basittir, formun kural uygulamasıdır:

 G |- A       G, B |- C
 ----------------------
     G, A -> B |- C

B, C'nin ispatında kullanılmadığında kaçınılabilir. B, C ispatında kullanılmadığında, zaten G | - C'ye sahibiz ve böylece G, A -> B | - C'yi zayıflatarak enterpolasyon. Burada bahsedilen algoritma, buna dikkat etmeyecektir.

Saygılarımla

Kaynaklar: Craig'in İnterpolasyon Teoremi Isabelle / HOL'de resmileştirildi ve mekanize edildi, Tom Ridge, Cambridge Üniversitesi, 12 Tem 2006 http://arxiv.org/abs/cs/0607058v1

Yukarıdaki refence tam olarak aynı enterpolasyonu göstermez, çünkü bir sekansın sonuç kısmında çoklu kümeler kullanır. Ayrıca imadan da faydalanmıyor. Ancak, karmaşıklık iddiamı desteklediğinden ve mekanize bir doğrulama gösterdiğinden ilginçtir.

Bu sorunun sorulmasından bu yana iki yıl geçti, ancak o zamanlar Craig aradeğerlemelerini hesaplamak için algoritmalar hakkında daha fazla makale yayınlandı. Bu çok aktif bir araştırma alanıdır ve burada kapsamlı bir liste vermek mümkün değildir. Aşağıda oldukça keyfi olarak makaleler seçtim. Onları referans alan makaleleri takip etmenizi ve manzaranın net bir resmini elde etmek için ilgili çalışma bölümlerini okumanızı öneririm.

1. Memnun Edilebilirlik Modulo Teorisinde Etkili İnterpolant Üretimi , Alessandro Cimatti, Alberto Griggio, Roberto Sebastiani, ACM TOCL, 2010.

   Doğrusal rasyonel aritmetik, rasyonel ve tamsayı fark mantığı ve Eşitsizlik Başına Birim İki Değişken mantığı (UTVPI) için enterpolasyonu kapsar.

2. Memnuniyetlilik Modulo Lineer Tamsayı Aritmetiğinde Verimli İnterpolant Üretimi , Alberto Griggio, Thi Thieu Hoa Le ve Roberto Sebastiani. 2010.

3. İnterpolant Üretimi İçin Bir Kombinasyon Yöntemi , Greta Yorsh ve Madanlal Musuvathi. 2005.

   Nelson-Oppen teorisi kombinasyonunun varlığında interpolantların nasıl oluşturulacağını gösterir.

4. Eşitlik teorisi için zemin enterpolasyonu , Alexander Fuchs, Amit Goel, Jim Grundy, Sava Krstic, Cesare Tinelli. 2011.

5. Tam Temsil Tabanlı İnterpolasyon , Nishant Totla ve Thomas Wies. 2012.

6. Sınıflandırıcı Olarak İnterpolantlar , Rahul Sharma, Aditya V. Nori ve Alex Aiken, 2012.