Neden 2SAT P de?

55

2SAT'ı çözen polinom algoritmasına rastladım. 2SAT’in, SAT örneklerinin hepsinin (veya birçoğunun) NP-Tamam olduğu P’de olduğunu övünç buldum. Bu sorunu farklı yapan nedir? Bu kadar kolay kılan şey nedir (NL-Complete - P'den bile daha kolay)?

— İnsan
kaynak

18

İnsanlar neden bunun böyle kötü bir soru olduğunu düşünüyor?

— Peter Shor

12

İlginç bir yönü, bir 2SAT ifadesinde (yani Max2SAT) maksimum eşzamanlı olarak karşılanabilir cümlecik sayısını bilmek istiyorsanız, o zaman tekrar NP-tamamına dönmenizdir.

— Shaun Harker

11

Bu ya korkunç bir soru, çünkü yararlı bir cevabı ya da harika bir sorusu yok çünkü tek doğru cevap "kimse bilmiyor".

— Jeffε

12

Lütfen “Memnuniyet problemlerinin karmaşıklığı: Schaefer teoreminin rafine edilmesi” adlı makaleyi okuyun.

— Diego de Estrada

3

Sevgili Guy, 2SAT'ın P'de olduğu gerçeği hemen hemen her standart karmaşıklık ders kitabında anlatılıyor, bu nedenle, bu gerçeği fark ettiğinizde, soruyu karmaşıklıkta standart bir ders kitabı bile okumamış gibi görünüyorsunuz.

— Kaveh

88

İşte MGwynne'nin cevabı boyunca başka bir sezgisel ve iddiasız açıklama.

İle -SAT, sadece formun etkilerini ifade edebilen , ve değişmezdir. Daha doğrusu, her fıkra , bir çift sonuç olarak anlaşılabilir: ve . Eğer ayarlarsanız true, de doğru olması gerekir. Eğer ayarlarsanız false, de false olmalıdır. Bu tür imalar basittir: başka seçenek yok, sadece $2$ $a \Rightarrow b$ $a$ $b$ $2$ $l_1 \lor l_2$ $\lnot l_1 \Rightarrow l_2$ $\lnot l_2 \Rightarrow l_1$ $a$ $b$ $b$ $a$ $1$ olasılık, vaka çarpımına yer yoktur. Sadece olası her iması zincirini takip edin ve hiç hem türetmek eğer görebilirsiniz dan ve den bazıları için yaparsanız: aksi takdirde karşılanabilir olduğunu, daha sonra 2-SAT formülü edilemezdir olduğunu. Muhtemel uygulama zincirlerinin sayısının giriş formülünün boyutunda polinom bağlı olduğu durumdur. $\lnot l$ $l$ $l$ $\lnot l$ $l$

İle -SAT, formun etkilerini ifade edebilen , , ve değişmezdir. Şimdi başınız dertte: eğer doğruyu ayarlarsanız , veya doğru olmalı, ama hangisi? Bir seçim yapmalısın: 2 ihtimalin var. İşte vaka çarpımının mümkün olduğu ve birleştirici patlamanın ortaya çıktığı yerdir. $3$ $a \Rightarrow b \lor c$ $a$ $b$ $c$ $a$ $b$ $c$

Başka bir deyişle, -SAT, birden fazla ihtimalin varlığını ifade edebilirken, -SAT böyle bir yeteneğe sahip değildir. Bu tam birden fazla olasılık (böyle varlığıdır durumunda olasılık -SAT, durumunda olasılıklar NP-tam problemlerin tipik birleştiirlebilen patlaması neden -SAT). $3$ $2$ $2$ $3$ $k-1$ $k$

— Giorgio Camerani
kaynak

6

Keşke bunu daha fazla oylayabilseydim! Çok daha iyi bir cevap!

— MGwynne

5

@MGwynne: Çok nazik yorumunuz için teşekkür ederiz. Bir şey değil, cevabınız gerçekten çok iyi!

— Giorgio Camerani

8

Bu iyi bir soruya güzel bir cevaptır (IMHO). Mac Lane'in yazdığı gibi: "Etkili veya zorlu biçimsel manipülasyonlar, şüphesiz yol gösterici bir fikri olan Matematikçiler tarafından getirilir - ancak manipülasyonları belirtmek, fikri kelimelerle formüle etmekten daha kolaydır. ... Matematik, fikirlerin manipülasyonların gösterilmesinde parlamasını sağlar. " Bu soru-cevap, “fikirlerin benim için parlamasına” yardımcı oldu (benim için). Teşekkürler! :)

— John Sidles

4

@John: Çok rica ederim! ;-) Büyük ve cömert yorumunuz için çok teşekkürler, gerçekten minnettarım. Mac Lane kelimeleriyle daha fazla hemfikir olamadım.

— Giorgio Camerani,

Giorgio Camerani cevabı göre bu değil , daha fazla kukla boolean değişkenler tanıtmak var daha maddelerini ve varsa 3SAT herhangi NP problemi azaltmak için değerli ne kazanç ne de kar, ancak CNF SAT veya boolean Gerçeklenebilirlik ya ya bunu azaltmak için daha çok tercih edilir Bunun yerine Devre SAT, çünkü bu problemlerde daha az boole değişkenleri ve daha küçük cümlecikler vardır ve bu kaba kuvvet naif algoritmalara, karnaugh haritalarına ve Quine-McClusky algoritmasına daha iyi bir karmaşıklığa sahip olduğu anlamına gelir: D.

— Elveda Yığın Borsası

31

$n + m -2 \le 2$ $n, m \le 2$ $n$ $m$

3-SAT'a ulaştığınızda daha büyük ve daha büyük çözünürlükler elde edersiniz, bu yüzden hepsi armut biçimlidir :).

Bir sorunu 2-SAT'ye çevirmeyi deneyin. 3 boyut cümleciklerine sahip olamadığınız için, (genel olarak), 3 değişken veya daha fazlasını içeren sonuçları kodlayamazsınız, örneğin bir değişken, diğer ikisinin ikili işleminin sonucudur. Bu çok büyük bir kısıtlama.

— MGwynne
kaynak

3

"Uygulama gibi şeyleri kodlayamazsınız" - IMP-SAT da P’de (ve NL’yi düşünüyorum)

— Max

8

p \to q

$p \to q$

\neg p \lor q

$\lnot p \lor q$

1

Kaveh, iyi nokta, şimdi düzeltildi.

— MGwynne

Eğer Boole Gerçeklenebilirlik veya Devre SAT veya CNF SAT birini tercih keyfi NP problemi azaltmıştır zaman Daha önce bahsedildiği gibi, do not sorun daha da sert ve daha boole değişkenler ve maddelere karmaşık hale gelir, çünkü 3SAT sorunu azaltır. Çözünürlük algoritması bile yeni problemde daha az verimli olur!

— Elveda Yığın Borsası,

20

Walter'ın dediği gibi, 2-SAT cümlelerinin özel bir şekli var. Bu, çözümleri hızlı bir şekilde bulmak için kullanılabilir.

Polinom zamanında karar verilebilecek birkaç SAT örneği sınıfı vardır ve 2-SAT bu izlenebilir sınıflardan sadece bir tanesidir . İzlenebilirliğin üç geniş nedeni vardır:

(Yapısal izlenebilirlik) Değişkenlerin ağaç benzeri bir şekilde etkileşime girdiği herhangi bir SAT sınıfı sınıfı polinom sürede çözülebilir. Polinomun derecesi, bir örneğin bir ağaçtan ne kadar uzak olduğunu ölçen sınıftaki örneklerin maksimum genişliğine bağlıdır . Daha kesin olarak, Marx, örneklerin submodüler genişliğe bağlı olması durumunda, sınıfa bir böl ve fethet yaklaşımı kullanarak polinom zamanında karar verilebileceğini gösterdi.
(Dil izlenebilirliği) Doğru-yanlış değişkenlerin modelinin "güzel" olduğu herhangi bir SAT örneği sınıfı, polinom zamanında çözülebilir. Daha doğrusu, değişmezler kalıbı bir ilişki dili tanımlar ve Schaefer her biri kendi algoritmasıyla izlenebilirliğe yol açan altı dili sınıflandırır. 2-SAT altı Schaefer sınıfından birini oluşturur.
(Karma izlenebilirlik) Diğer iki kategoriye girmeyen, ancak diğer nedenlerle polinom zamanında çözülebilen bazı örnek sınıfları da vardır.
- Dániel Marx, kısıt memnuniyeti ve birletimli sorguları için Çekilebilir hypergraph özellikleri , STOC 2010. ( DOI , ön baskı )
- Thomas J. Schaefer, Memnuniyet problemlerinin karmaşıklığı , STOC 1978. ( doi )

— András Salamon
kaynak

2

Farkı açıklamak için kullanılabilecek rastgele k-SAT literatüründen çözüm uzayının yapısına dayanan argümanlar da vardır.

— Kaveh

3

@Kaveh: melez izlenebilirlik tanımımın bu tür şeyleri kapsayacak kadar belirsiz olduğu düşünülüyordu. Örneğin, çok özel durumlar için biri Lovász Yerel Lemma'sına dayalı olarak tatmin edilebilirlik için bir tartışma yapabilir. Pearson ve Jeavons’un

— András Salamon

3

Ayrıca SAT'nin, her değişkenin 2 değer alabileceği kısıtlama memnuniyeti sorununun özel bir örneği olduğunu unutmayın. Değişkenler 3 değer alabiliyorsa, Andrei Bulatov tarafından sınıflandırılan 10 izlenebilir dil sınıfı vardır: cs.sfu.ca/~abulatov/papers/3-el-journal.ps Hibrit sınıflar daha büyük alanlar için daha ilginçtir.

— András Salamon

10

2SAT için algoritmayı anlıyorsanız, neden P'de olduğunu zaten biliyorsunuz - bu tam olarak algoritmanın gösterdiği şey. Bence bu çizgi roman benim açımdan gösteriyor. 2SAT'ın neden P'de olduğunu zaten bildiğiniz gibi, muhtemelen bilmek istediğiniz şey 2SAT'ın neden NP-sert olmadığıdır.

2SAT'ın neden NP zor olmadığını anlamak için, NP'deki diğer sorunları azaltmanın ne kadar kolay olduğunu göz önünde bulundurmalısınız. Bunu sezgisel bir şekilde anlamak için SAT'ın 3SAT'a nasıl düşürüldüğüne bakın ve SAT'ı 2SAT'a düşürmek için aynı teknikleri uygulamaya çalışın. 2SAT, 3SAT ve diğer SAT değişkenleri kadar anlamlı değildir.

— Dave
kaynak