Üyelik için testin NP-tam olduğu biliniyorsa bir kümenin kardinalitesini bağlayabilir miyim?

Birim disk grafikleri kümesinin kardinalitesine bağlı olmak istiyorum $N$ köşe noktası. Bir grafiğin bu kümenin üyesi olup olmadığını kontrol etmenin NP-zor olduğu bilinmektedir. Bu, P varsayarak, kardinalitede herhangi bir alt sınırlamaya yol açar mı? $\neq$ NP?

Örneğin, tüm grafiklerde aşağıdakileri içeren bir sipariş olduğunu varsayalım: $N$ köşe noktası. NP sertliği kardinalitenin aşıldığını ima eder mi $2^N$ , aksi takdirde set üzerinden ikili bir arama yaparak polinom zamanda üyelik için test edebilirsiniz? Sanırım bu seti bir şekilde hafızaya kaydettiğinizi varsayar ... Buna izin veriliyor mu?

Tanım: Grafik, her tepe noktası düzlemdeki bir birim diskle ilişkilendirilebiliyorsa, diskleri kesiştiğinde köşeler bağlanacak şekilde birim disk grafiğidir.

Birim disk grafikleri için üyelik testinin NP sertliğine ilişkin bir referans: http://disco.ethz.ch/members/pascal/refs/pos_1998_breu.pdf

cc.complexity-theory graph-theory

— David Choi
kaynak

Merak ediyorum, bu tekniğin bazı setlerin boyutunda en iyi bilinen alt sınırı sağladığı bir örnek var mı? Bu karmaşıklık teorisinin havalı dolaylı kombinatorik uygulaması olacaktır.

— Sasho Nikolov

Nazik yardımlarınız için teşekkür ederim. Her iki cevap da yararlı ve anlayışlıydı; İkisini de diğerinin yokluğunda kabul ederdim.

— David Choi

Yanıtlar:

Bu soruyu teknik veya cevap için sorup sormadığınızdan emin değilim, ancak McDiarmid ve Mueller tarafından (etiketli) birim disk grafiklerinin sayısını gösteren son bir makale var. $n$ köşe noktaları $2^{(2 + o(1))n}$ ; bkz. http://homepages.cwi.nl/~mueller/Papers/countingDGs.pdf .

— Bart Jansen
kaynak

Mahaney Teoremi, P = NP'de seyrek NP-tam setlerin mevcut olduğunu belirtir. Bu nedenle, $P \neq NP$ boyut örneklerinin sayısına bağlı bir süper polinom alt sınır anlamına gelir $n$ içinde $NP$ sonsuz setler için komple setler $n$ . Yani, eğer $P \neq NP$ , sonra herhangi $NP$ -Tamam seti bazı olmalıdır $\epsilon \gt 0$ öyle ki sonsuz sayıda tamsayı için $n\ge 0$ , kümede en az $2^{n^{\epsilon}}$ uzunluk dizeleri $n$ .

H. Buhrman ve JM Hitchcock alt sınırı kanıtladı ( $2^{n^{\epsilon}}$ ), polinom hiyerarşisi çökmediği sürece sıkıdır.

[1] H. Buhrman ve JM Hitchcock, NP-Sert Setler, coNP ⊆ NP / poli olmadığı sürece IONE, Hesaplama Karmaşıklığı Konferansı'nda, sayfalar 1–7, 2008

[2] Eric Allender, P ve NP Sorusuna İlişkin Bir Durum Raporu, Bilgisayarlardaki Gelişmeler, Cilt 77, 2009, Sayfa 117-147

— Muhammed El-Türkistan
kaynak

Mah82 SR Mahaney. NP için seyrek setler: Bilgisayar ve Sistem Bilimleri Dergisi 25: 130-143, 1982'den Berman ve Hartmanis tarafından yapılan bir varsayımın çözümü .

— Marzio De Biasi

Her NP-tamamlanmış set, sayılabilir derecede sonsuz kardinaliteye sahiptir. Muhtemelen P ≠ NP'nin boyut örneklerinin sayısına süper polinom bir alt sınır ima ettiğini kastettiniz

n

$n$ , sonsuz sayıda

n

$n$ . Ayrıca şunu da unutmayın

2^{(\log n)^{2}}

$2^{(\log n)^2}$ verdiğiniz form olmadan süper polinomdur.

— András Salamon

Teşekkürler András, yorumunuz cevapta yer alıyor.

— Mohammad Al-Turkistany

@Mohammad: alt sınırı yap

2^{ω (\log n)}

$2^{\omega(\log n)}$ veya

n^{ω (1)}

$n^{\omega(1)}$ : süperpolinomun anlamı budur.

— Sasho Nikolov

@Sasho, H. Buhrman ve JM Hitchcock alt sınırı kanıtladı (

2^{n^{ϵ}}

$2^{n^{\epsilon}}$ ) Polinom hiyerarşisi çökmediği sürece cevabımda bahsetmiştim. H. Buhrman ve JM Hitchcock, NP-Sert Setler, coNP ⊆ NP / poly olmadığı sürece IONE, Hesaplama Karmaşıklığı Konferansında, sayfa 1-7, 2008

— Mohammad Al-Turkistany